Satz von Schur (Zahlentheorie)

In der Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, behandelt der Satz von Schur (englisch theorem of I. Schur) eine Fragestellung, die anknüpft an diejenige des bertrandschen Postulats. Der Satz geht auf eine Publikation von Issai Schur (1875–1941) aus dem Jahre 1929 zurück, in der der Autor ihn als Hilfssatz zur Klärung von Irreduzibilitätsfragen bei Polynomen eines gewissen Typs heranzieht. Der schursche Satz schließt den Satz von Bertrand-Tschebyschow in sich ein.^[1][2]

Er besagt folgendes:^[3][4]

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen ${\displaystyle h}$ und ${\displaystyle k}$ mit ${\displaystyle 1\leq k\leq h}$.

Dann gilt:

Unter den ${\displaystyle k}$ aufeinanderfolgenden Zahlen

${\displaystyle h+1,h+2,\ldots ,h+k}$

gibt es stets mindestens eine, die einen Primteiler ${\displaystyle p>k}$ besitzt.

Betrachtet man im Satz von Schur den Fall ${\displaystyle k=h}$, so erschließt sich, dass stets eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ mit ${\displaystyle h<n\leq 2h}$ existiert, welche durch eine Primzahl ${\displaystyle p>h}$ teilbar ist. Dies ist indes nur möglich, wenn ${\displaystyle n=p}$ gilt, was dann das bertrandsche Postulat bestätigt.^[4]

Aus seinem Satz gewann Schur folgendes Kriterium:^[3][5]

Jedes Polynom der Form

${\displaystyle p(x)=g_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}+g_{n-1}{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}+\cdots +g_{2}{\frac {x^{2}}{2!}}+g_{1}{\frac {x}{1!}}+1}$

mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,n\geq 2,g_{n}\in \{-1,+1\}}$ und beliebigen ganzzahligen Koeffizienten ${\displaystyle g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n-1}}$

ist über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , dem Körper der rationalen Zahlen, irreduzibel.

• Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds , Karl-Heinz Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Deutsch, Thun 1990, ISBN 3-8171-1164-9, S. 420–421 (MR1089881). 
• Issai Schur: Gesammelte Abhandlungen. Band III. Herausgegeben von Alfred Brauer und Hans Rohrbach. Springer–Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1973, ISBN 3-540-05630-0 (MR0462893). 
• I. Schur: Einige Sätze über Primzahlen mit Anwendungen auf Irreduzibilitätsfragen I. In: Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. Physikalisch-mathematische Klasse. 1929, S. 125–136. 
• I. Schur: Einige Sätze über Primzahlen mit Anwendungen auf Irreduzibilitätsfragen II. In: Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. Physikalisch-mathematische Klasse. 1929, S. 370–391. 
• Harold N. Shapiro: Introduction to the Theory of Numbers (= A Wiley-Interscience Publication. Pure and Applied Mathematics). John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore 1983, ISBN 0-471-86737-3 (MR0693458). 

1. ↑ Harold N. Shapiro: Introduction to the Theory of Numbers. 1983, S. 369–374, S. 398–399
2. ↑ Issai Schur: Gesammelte Abhandlungen. Band III. 1973, S. 140–173
3. ↑ ^{a b} Issai Schur: Gesammelte Abhandlungen. Band III. 1973, S. 140
4. ↑ ^{a b} Harold N. Shapiro: Introduction to the Theory of Numbers. 1983, S. 370
5. ↑ Siegfried Gottwald et al. (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. 1990, S. 421