Satz von Vantieghem

Der Satz von Vantieghem ist ein Primzahlkriterium der Zahlentheorie. Er besagt, dass eine natürliche Zahl n genau dann prim ist, wenn

∏ 1 ≤ k ≤ n − 1 ( 2 k − 1 ) ≡ n mod ( 2 n − 1 ) . {\displaystyle \prod _{1\leq k\leq n-1}\left(2^{k}-1\right)\equiv n\mod \left(2^{n}-1\right).}

Analog ist n genau dann prim, wenn folgende Kongruenz von Polynomen in X gilt:

∏ 1 ≤ k ≤ n − 1 ( X k − 1 ) ≡ n − ( X n − 1 ) / ( X − 1 ) mod ( X n − 1 ) {\displaystyle \prod _{1\leq k\leq n-1}\left(X^{k}-1\right)\equiv n-\left(X^{n}-1\right)/\left(X-1\right)\mod \left(X^{n}-1\right)}

oder:

∏ 1 ≤ k ≤ n − 1 ( X k − 1 ) ≡ n mod ( X n − 1 ) / ( X − 1 ) . {\displaystyle \prod _{1\leq k\leq n-1}\left(X^{k}-1\right)\equiv n\mod \left(X^{n}-1\right)/\left(X-1\right).}

Literatur

  • L. J. P. Kilford: A generalization of a congruence due to Vantieghem only holding for primes. 2004, arxiv:math/0402128. Ein Artikel mit Beweis für dieses Primzahlkriterium.