In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die höherdimensionale Verallgemeinerung der Schwarzschild-Metrik als Schwarzschild-Tangherlini-Metrik (nach Karl Schwarzschild, Frank R. Tangherlini) bezeichnet. Die allgemeine Form des Linienelements (in Weinbergs Vorzeichenkonvention) ist
![{\displaystyle ds^{2}=-{\Big [}1-{\Big (}{\frac {a}{r}}{\Big )}^{d-3}{\Big ]}dt^{2}+{\Big [}1-{\Big (}{\frac {a}{r}}{\Big )}^{d-3}{\Big ]}^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{d-2}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54936b704cf6c8d52f5fe7ff5c90ec9e2b542599)
wobei
gesetzt wurde und
die Anzahl der Dimensionen der Raumzeit bezeichnet. In der „gewöhnlichen“ Raumzeit wäre also
. Mit
wird die Standardmetrik auf der
-dimensionalen Einheitssphäre
bezeichnet, die induktiv definiert ist durch
![{\displaystyle d\Omega _{1}^{2}=d\varphi ^{2},\quad d\Omega _{i+1}^{2}=d\theta _{i}^{2}+\sin ^{2}\theta _{i}d\Omega _{i}^{2}\;(i\geq 1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0faca774a2ec72002247d6e0443cd1790812499)
wobei die Koordinate
Werte zwischen
und
annimmt, während die Koordinaten
Werte zwischen
und
annehmen. Für
ergibt sich beispielsweise
![{\displaystyle d\Omega _{4}^{2}=d\theta _{3}^{2}+\sin ^{2}\theta _{3}d\theta _{2}^{2}+\sin ^{2}\theta _{3}\sin ^{2}\theta _{2}d\theta _{1}^{2}+\sin ^{2}\theta _{3}\sin ^{2}\theta _{2}\sin ^{2}\theta _{1}d\varphi ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bd18d8cb8349520906597b7906d34ffae8fb6b0)
Für
ergibt sich das interessante Ergebnis, dass in dieser Metrik keine stabilen, gebundenen Bahnen massiver Teilchen existieren, die für
durchaus existieren. Dies sieht man ein, indem man die Bewegung in der Äquatorialebene
betrachtet und die Koordinate
einführt. Aus der Lagrange-Dichte ergibt sich durch Einführung der Erhaltungsgrößen
(„Energie“) und
(„Drehimpuls“) die Gleichung
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}u^{2}-{\frac {1}{2}}u^{d-1}-{\frac {a^{2}}{l^{2}}}u^{d-3}={\frac {a^{2}}{l^{2}}}(E-1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb2112766d3b1c361ad77a3457ead01e7685897)
wobei die letzten drei Terme auf der linken Seite ein effektives Potential darstellen. Skizziert man den Verlauf über
, so erkennt man sofort, dass für
maximal ein bzw. genau ein (
) Extremalpunkt existiert. Somit ist jede Teilchenbahn entweder unbeschränkt oder führt in die Singularität bei
.
Literatur
- Tangherlini, F.R., „Schwarzschild field in n dimensions and the dimensionality of space problem“, Nuovo Cim.27: 636-651 (1963)