Spiegelungsmatrix

Als Spiegelungsmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt. Das einfachste Beispiel ist die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden g {\displaystyle g} in der Ebene mit dem Neigungswinkel α {\displaystyle \alpha } . Die Spiegelungsabbildung ergibt sich als Matrix-Vektor-Produkt der Matrix mit dem entsprechenden Vektor.

Spiegelung an einer ebenen Ursprungsgeraden

Die Matrix einer Spiegelung S g {\displaystyle S_{g}} an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel α {\displaystyle \alpha } zur positiven x-Achse ist:

S g = ( cos 2 α sin 2 α sin 2 α cos 2 α ) {\displaystyle S_{g}={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha \\\sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}} .

Zum Beispiel ist die Matrix einer Spiegelung S an der x-Achse:

S = ( 1 0 0 1 ) {\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}} .

Spiegelung an einer beliebigen ebenen Geraden

Damit lässt sich auch eine Darstellung der Spiegelung eines Vektors v {\displaystyle {\vec {v}}} an einer beliebigen Geraden g = a + r u {\displaystyle g={\vec {a}}+r\cdot {\vec {u}}} mit Neigungswinkel α {\displaystyle \alpha } darstellen. Hierzu sind zwei Schritte durchzuführen:

  1. Es wird auf eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden g = r u {\displaystyle g^{*}=r\cdot {\vec {u}}} zurückgeführt. Dies wird durch Verschiebung von g {\displaystyle g} um a {\displaystyle -{\vec {a}}} erreicht: v = v a {\displaystyle {\vec {v}}'={\vec {v}}-{\vec {a}}} . Der Vektor v {\displaystyle {\vec {v}}'} wird nun an g {\displaystyle g^{*}} gespiegelt:
    q = S g ( v ) = S g ( v a ) = ( cos 2 α sin 2 α sin 2 α cos 2 α ) ( v a ) {\displaystyle {\vec {q}}'=S_{g}({\vec {v}}')=S_{g}({\vec {v}}-{\vec {a}})={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha \\\sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}\cdot ({\vec {v}}-{\vec {a}})}
  2. Verschiebung von q {\displaystyle {\vec {q}}'} um den Stützvektor a {\displaystyle {\vec {a}}} der Ausgangsgeraden g {\displaystyle g}
    q = q + a = ( cos 2 α sin 2 α sin 2 α cos 2 α ) ( v a ) + a {\displaystyle {\vec {q}}={\vec {q}}'+{\vec {a}}={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha \\\sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}\cdot ({\vec {v}}-{\vec {a}})+{\vec {a}}}

Allgemeinere Spiegelungen

Spiegelungsmatrizen sind orthogonale Matrizen und haben die Determinante −1.

Die Darstellungen von Spiegelungen an Hyperebenen werden in der numerischen Mathematik als Householder-Matrizen bezeichnet.

Literatur

  • Wolfgang Mackens, Heinrich Voß: Mathematik. Für Studierende der Ingenieurwissenschaften. Band 1. HECO-Verlag, Aachen 1993, ISBN 3-930121-00-X.