Toeplitz-Algebra

Die Toeplitz-Algebra ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersuchte C*-Algebra, die eng mit Toeplitz-Operatoren zusammenhängt.

Sei ${\displaystyle S\colon \ell ^{2}\rightarrow \ell ^{2}}$ der unilaterale Shiftoperator auf dem Hilbertraum ${\displaystyle \ell ^{2}}$ mit der kanonischen Orthonormalbasis ${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ),\,n=0,1,2,\ldots }$, wobei die 1 an der ${\displaystyle n}$-ten Stelle steht. ${\displaystyle S}$ ist als stetiger, linearer Operator durch die Bedingungen ${\displaystyle Se_{n}=e_{n+1}}$ festgelegt.

Die Toeplitz-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ist definiert als die von ${\displaystyle S}$ erzeugte C*-Algebra.^[1]

• Da ${\displaystyle S}$ kein normaler Operator ist, ist ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ nicht kommutativ.

• ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ enthält die eindimensionale Orthogonalprojektion ${\displaystyle \langle \cdot ,e_{0}\rangle e_{0}=1_{\ell ^{2}}-SS^{*}}$, also einen kompakten Operator. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ irreduzibel auf ${\displaystyle \ell ^{2}}$ operiert und daher die Menge ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell ^{2})}$ aller kompakten Operatoren auf ${\displaystyle \ell ^{2}}$ enthalten muss. Insbesondere ist ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell ^{2})}$ ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.

Nimmt man statt des Folgenraums ${\displaystyle \ell ^{2}}$ mit der kanonischen Orthonormalbasis den Hardy-Raum ${\displaystyle H^{2}}$ mit der Orthonormalbasis ${\displaystyle e_{n}:\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}\rightarrow \mathbb {C} }$, ${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$, ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$, so ist der Shiftoperator nichts anderes als die Multiplikation mit ${\displaystyle z}$, denn ${\displaystyle z\cdot z^{n}=z^{n+1}}$.

Für eine wesentlich beschränkte, messbare Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {T} \rightarrow \mathbb {C} }$ wird die Kompression des Multiplikationsoperators ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {T} )\rightarrow L^{2}(\mathbb {T} ),\varphi \mapsto f\cdot \varphi }$ auf den Unterraum ${\displaystyle H^{2}}$ mit ${\displaystyle T_{f}}$ bezeichnet, solche Operatoren heißen Toeplitz-Operatoren. Damit ist der Shiftoperator der Toeplitz-Operator ${\displaystyle T_{\mathrm {id} _{\mathbb {T} }}}$. Die davon erzeugte C*-Algebra ist mittels der unitären Abbildung ${\displaystyle \ell ^{2}\rightarrow H^{2}}$, die die angegebenen Orthonormalbasen aufeinander abbildet, unitär äquivalent zu ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, sie wird daher ebenfalls als die Toeplitz-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ angesprochen. Man erhält folgende Gleichung

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{T_{f}+K\mid f\in C(\mathbb {T} ),K\in {\mathcal {K}}(H^{2})\}}$.^[2]

Dabei ist ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$ die Funktionenalgebra der stetigen Funktionen ${\displaystyle \mathbb {T} \rightarrow \mathbb {C} }$. Das Symbol ${\displaystyle f}$ des Toeplitz-Operators ist dabei eindeutig bestimmt. Man erhält folgende kurze exakte Sequenz

${\displaystyle \{0\}\rightarrow {\mathcal {K}}(H^{2})\,{\xrightarrow[{}]{\quad \subset \quad }}\,{\mathcal {T}}\,{\xrightarrow[{}]{T_{f}+K\to f}}\,C(\mathbb {T} )\rightarrow \{0\}}$^[2][3]

von C*-Algebren und *-Homomorphismen. Da ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$ als kommutative C*-Algebra liminal ist, ergibt sich aus dieser Sequenz, dass die Toeplitz-Algebra postliminal, aber nicht liminal ist.

Der Satz von Coburn kennzeichnet die Toeplitz-Algebra als eine C*-Algebren, die von einer echten Isometrie, das heißt einem Element ${\displaystyle V}$ mit ${\displaystyle V^{*}V=1,VV^{*}\not =1}$, erzeugt wird:

• Ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine C*-Algebra, die von einer echten Isometrie ${\displaystyle V}$ erzeugt wird, so gibt es genau einen *-Isomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {T}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$ mit ${\displaystyle \varphi (S)=V}$.^[4][5]

Für den Beweis ist es wesentlich, dass die Isometrie echt ist. Ist die Isometrie ${\displaystyle V}$ nicht echt, also unitär, so ist die von ${\displaystyle V}$ erzeugte C*-Algebra kommutativ und kann daher nicht isomorph zu ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ sein.

Die K-Theorie für die Toepolitz-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ sieht wie folgt aus. ${\displaystyle K_{0}({\mathcal {T}})\cong \mathbb {Z} }$ und ein erzeugendes Element ist durch die Äquivalenzklasse einer eindimensionalen Orthogonalprojektion gegeben. Die ${\displaystyle K_{1}}$-Gruppe verschwindet, das heißt ${\displaystyle K_{1}({\mathcal {T}})\cong \{0\}}$.^[1]

Bei Nikolski findet sich eine etwas allgemeinere Definition.^[6] Dort ist die Toeplitz-Algebra die Unteralgebra von ${\displaystyle L(H^{2})}$, die von allen Toeplitz-Operatoren erzeugt wird. Der Autor räumt ein, dass diese Algebra für Untersuchungen zu groß sei, auch wenn sie nicht mit ${\displaystyle L(H^{2})}$, der Algebra aller stetigen, linearen Operatoren auf ${\displaystyle H^{2}}$, zusammenfällt. Ist ${\displaystyle X\subset L^{\infty }(\mathbb {T} )}$ eine abgeschlossene Unteralgebra, so sei ${\displaystyle \mathrm {alg} {\mathcal {T}}_{X}}$ die von ${\displaystyle \{T_{f}\mid f\in X\}}$ erzeugte abgeschlossene Unteralgebra von ${\displaystyle L(H^{2})}$. Die allgemeinere Toeplitz-Algebra im Sinne Nikolskis ist damit gleich ${\displaystyle \mathrm {alg} {\mathcal {T}}_{L^{\infty }(\mathbb {T} )}}$, die oben in diesem Artikel betrachtete Toeplitz-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ist gleich. ${\displaystyle \mathrm {alg} {\mathcal {T}}_{C(\mathbb {T} )}}$.

1. ↑ ^{a b} N. Laustsen M. Rørdam , F. Larsen: An Introduction to K-Theory for C*-Algebras. Hrsg.: Cambridge University Press. 2000, ISBN 0-521-78334-8, S. 167–169, Example 9.4.4 (The Toeplitz algebra) (englisch). 
2. ↑ ^{a b} Kenneth R. Davidson: C*-Algebras by Examples. Hrsg.: American Mathematical Society (= Fields Institute Monographs). 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Kapitel V.1 Toeplitz Operators, S. 132–136 (englisch). 
3. ↑ Masoud Khalkhali: Basic Noncommutative Geometry (= EMS Series of Lectures in Mathematics. Band 10). EMS Press, 2009, ISBN 978-3-03719-128-6, S. 183, Gleichung (4.23) (englisch). 
4. ↑ L. A. Coburn: The C*-Algebra of an isometry. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Bulletin of the American Mathematical Society. Band 73, 1967, S. 722–726 (englisch). 
5. ↑ Kenneth R. Davidson: C*-Algebras by Examples. Hrsg.: American Mathematical Society (= Fields Institute Monographs). 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Kapitel V.2 Isometries, S. 136–137 (englisch). 
6. ↑ Nikolai Kapitonowitsch Nikolski: Toeplitz Matrices and Operators (= Cambridge studies in mathematics. Band 182). Cambridge University Press, 2020, ISBN 978-1-107-19850-0, Definitions 3.1.2 (englisch).