Topologische Entropie

Die topologische Entropie ist eine Invariante, die die Komplexität dynamischer Systeme misst. Sie verallgemeinert den (maßtheoretischen) Begriff der Kolmogorow-Sinai-Entropie auf nicht notwendig maßerhaltende dynamische Systeme.

Die Entropie misst die Chaotizität eines dynamischen Systems. Man bezeichnet dynamische Systeme als chaotisch, wenn ihre Entropie positiv ist.

Sei ${\displaystyle X}$ ein kompakter topologischer Raum und ${\displaystyle f\colon X\to X}$ eine stetige Abbildung.

Die topologische Entropie ${\displaystyle h(f)}$ des durch Iteration von ${\displaystyle f}$ definierten dynamischen Systems wird wie folgt definiert.

Für eine endliche offene Überdeckung ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle X=\cup _{i=1}^{n}U_{i}}$

von ${\displaystyle X}$ durch offene Mengen ${\displaystyle U_{i}}$ bezeichnen wir mit

${\displaystyle H({\mathcal {U}})}$

den Logarithmus der minimalen Anzahl von Mengen aus ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$, die bereits ganz ${\displaystyle X}$ überdecken. Für zwei offene Überdeckungen ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ bezeichnen wir mit ${\displaystyle {\mathcal {U}}\vee {\mathcal {V}}}$ die Überdeckung durch offene Mengen der Form

${\displaystyle U_{i}\cap V_{j}}$ mit ${\displaystyle U_{i}\in {\mathcal {U}},V_{j}\in {\mathcal {V}}}$.

Mit diesen Bezeichnungen wird die topologische Entropie von ${\displaystyle f}$ definiert als

${\displaystyle h(f)=\sup _{\mathcal {U}}\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}H({\mathcal {U}}\vee f^{-1}{\mathcal {U}}\vee \ldots \vee f^{-n+1}{\mathcal {U}})}$,

wobei das Supremum über alle offenen Überdeckungen ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ genommen wird.

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle f\colon X\to X}$ wieder eine stetige Abbildung.

Für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ definieren wir eine neue Metrik durch

${\displaystyle d_{n}(x,y)=max\left\{d(f^{k}(x),f^{k}(y)):0\leq k\leq n-1\right\}}$.

Für ${\displaystyle \epsilon >0}$ sei

${\displaystyle N(d_{n},\epsilon )}$

die maximale Kardinalität einer Menge ${\displaystyle M\subset X}$ mit ${\displaystyle d_{n}(m,m^{\prime })\geq \epsilon }$ für alle ${\displaystyle m\not =m^{\prime }\in M}$.

Dann definieren wir die topologische Entropie von ${\displaystyle f}$ durch

${\displaystyle h(f)=\lim _{\epsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log N(d_{n},\epsilon )}$.

Wenn ${\displaystyle X}$ ein kompakter metrischer Raum ist, dann stimmt diese Definition mit der von Adler-Konheim-McAndrew überein.^[1]

• Für eine Isometrie ${\displaystyle f}$ oder allgemeiner eine Lipschitz-stetige Abbildung mit Lipschitz-Konstante ${\displaystyle \leq 1}$ ist ${\displaystyle h(f)=0}$.
• Für eine logistische Abbildung ${\displaystyle f(x)=\mu x(1-x)}$ mit ${\displaystyle \mu >2+{\sqrt {5}}}$ ist ${\displaystyle h(f)=\ln(2)}$.
• Die topologische Entropie der Winkelverdopplungsabbildung ist ${\displaystyle \ln(2)}$.
• Die topologische Entropie der Shiftabbildung auf ${\displaystyle k}$ Symbolen ist ${\displaystyle \ln(k)}$.^[2]

• ${\displaystyle h(f^{k})=kh(f)}$.
• Für einen Homöomorphismus ist ${\displaystyle h(f^{-1})=h(f)}$.
• ${\displaystyle h(gfg^{-1})=h(f)}$ für jeden Homöomorphismus ${\displaystyle g}$ und beliebige ${\displaystyle f}$.
• Die topologische Entropie hängt nur von der Topologie, nicht von der zugrundeliegenden Metrik ab.

• Luis Barreira, Claudia Valls: Dynamical systems. An introduction. Translated from the 2012 Portuguese original. Universitext. Springer, London 2013, ISBN 978-1-4471-4834-0.
• R. L. Adler, A. G. Konheim, M. H. McAndrew: Topological entropy. In: Trans. Amer. Math. Soc. 114, 1965, S. 309–319.
• Rufus Bowen: Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces. In: Trans. Amer. Math. Soc. 153, 1971, S. 401–414.
• E. I. Dinaburg: A connection between various entropy characterizations of dynamical systems. In: Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 35, 1971, S. 324–366. (russisch)

1. ↑ Rufus Bowen: Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces. In: Trans. Amer. Math. Soc. 153, 1971, S. 401–414.
2. ↑ Jacques M. Bahi, Christophe Guyeux: Discrete dynamical systems and chaotic machines. Theory and applications. Chapman & Hall/CRC Numerical Analysis and Scientific Computing. CRC Press, Boca Raton, FL 2013, ISBN 978-1-4665-5450-4.