Die Trigammafunktion in der komplexen Zahlenebene.
In der Mathematik ist die Trigamma-Funktion die zweite Polygammafunktion[1]; die erste Polygammafunktion ist die Digammafunktion . Die Trigammafunktion ist damit eine spezielle Funktion und wird üblicherweise mit bezeichnet und als zweite Ableitung der Funktion definiert, wobei die Gammafunktion bezeichnet.
Inhaltsverzeichnis
1Definition und weitere Darstellungen
2Berechnung und Eigenschaften
3Spezielle Werte
4Einzelnachweise
Definition und weitere Darstellungen
Die Definition lautet:
Daraus folgt der Zusammenhang mit der Digammafunktion , dass
die Trigammafunktion die Ableitung der Digammafunktion ist.
Die asymptotische Berechnung schließt die Bernoulli-Zahlen ein:
.
Zwar ist die Reihe für kein mit konvergent, jedoch stellt diese Formel für nicht zu groß gewählte eine sehr gute Näherung dar. Je größer ist, desto größer kann gewählt werden.
Die Rekursionsformel der Trigammafunktion lautet:
Die Funktionalgleichung der Trigammafunktion hat die Form einer Reflexionsgleichung und ist gegeben durch:
Hier ist der Kosekans.
Spezielle Werte
Es folgt eine Auflistung einiger spezieller Werte der Trigammafunktion, wobei die Catalansche Konstante, die Riemannsche Zetafunktion und die Clausen-Funktion[3] bezeichnet.
Einzelnachweise
↑Eric W. Weisstein: Polygamma Function. In: MathWorld (englisch).
↑Eric W. Weisstein: Hurwitz Zeta Function. In: MathWorld (englisch).
↑Eric W. Weisstein: Clausen Function. In: MathWorld (englisch).