Der unbeschränkte Borel-Funktionalkalkül ist ein Instrument in der mathematischen Theorie der dicht-definierten selbstadjungierten Operatoren. Er erlaubt eine „Einsetzung“ solcher Operatoren in Borelfunktionen, was unter anderem in der Quantenmechanik Anwendung findet, da die selbstadjungierten Operatoren die quantenmechanischen Observablen sind. Dieser Funktionalkalkül ist mathematisch sehr aufwändig, da der Umgang mit dicht-definierten Operatoren zusätzliche Techniken erfordert.
Ausgangssituation
Es sei
ein dicht definierter, selbstadjungierter Operator mit Definitionsbereich
in einem separablen Hilbertraum
(dicht-definiert bedeutet, dass
dicht liegt). Das Spektrum
eines solchen Operators ist die Menge aller
, so dass der Operator
nicht bijektiv ist. Man kann zeigen, dass das Spektrum eines selbstadjungierten Operators reell ist. Wie im Falle der beschränkten selbstadjungierten Operatoren gibt es ein Spektralmaß
, so dass
gilt.
Ist
eine beschränkte Borelfunktion, so kann man
![{\displaystyle f(T):=\int _{\mathbb {R} }f(\lambda ){\mathrm {d} }E_{\lambda }\in L(H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2cfb108a50e38ceeb87d9ed342edb0a83b0dd1)
bilden, denn
definiert wegen der Beschränktheit von
eine stetige Sesquilinearform auf
.
Unbeschränkte Borelfunktionen
Sei nun
eine Borelfunktion, die auch unbeschränkt sein darf. Die Bildung von
wird wie folgt auf den Fall beschränkter Borelfunktionen zurückgeführt. Es sei
.
Dann wird der dicht-definierte Operator
durch den Definitionsbereich
und durch die Formel
für
definiert.
Für den so definierten Operator
lässt sich Folgendes zeigen:
![{\displaystyle D_{f(T)}=\{x\in H;\,\int _{\mathbb {R} }|f(\lambda )|^{2}{\mathrm {d} }\langle E_{\lambda }x,x\rangle <\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38275eb3b1a750f7301af9ab6ed47f667d85dc1c)
für alle ![{\displaystyle x,y\in D_{f(T)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018bf8104c5f6cfe0cf8b265d165fb6ea2e762c1)
für alle ![{\displaystyle x\in D_{f(T)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d3b0743714ff0df95c610a24c7b96b8db46d95)
![{\displaystyle f(T)^{*}={\overline {f}}(T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ede46788170973fe84e716836b5a676a8c4bbede)
Der Funktionalkalkül
Während man beim beschränkten Borel-Funktionalkalkül für normale Operatoren einen *-Homomorphismus von der Algebra der beschränkten Borelfunktionen nach
erhält, kann man im hier betrachteten Fall der unbeschränkten Borelfunktionen und dicht-definierten selbstadjungierten Operatoren nicht mehr ohne weiteres von einem Homomorphismus sprechen, da die dicht-definierten Operatoren keine Algebra bilden; das Links-Distributivgesetz gilt nicht. Ist nämlich
ein dicht-definierter Operator,
der identische Operator auf
und
, so ist
und
. Um diesem Umstand gerecht zu werden, muss man entweder nach jeder algebraischen Operation den entstandenen Operator abschließen, dies ist im unten angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose mit zusätzlichen Techniken aus der Theorie der Von-Neumann-Algebren ausgeführt, oder, wie im unten angegebenen Lehrbuch von Dunford und Schwartz, die Definitionsbereiche der Operatoren berücksichtigen. In der hier gegebenen Darstellung wird der zweite Weg beschritten. Die dabei auftretenden Inklusionen beziehen sich auf die Graphen der Operatoren, das heißt man schreibt
, wenn
eine Erweiterung von
ist.
Es sei
ein dicht-definierter selbstadjungierter Operator auf
mit Spektralmaß
. Dann gelten für
, Borelfunktionen
und Borelmengen
folgende Regeln:
![{\displaystyle (\alpha f)(T)\,=\,\alpha f(T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1818fafe219feada7bb72bb052f8b915fce6f4)
![{\displaystyle (f+g)(T)\supset f(T)+g(T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f55dc739735380ce5f1bde3269d433bbb4800901)
und ![{\displaystyle (fg)(T)\supset f(T)g(T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1fc0fcd8029b040024b24ca1bb3b8f40fe6f58b)
![{\displaystyle f(T)E(B)\supset E(B)f(T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4196311bb8126a1f2ef261ef26a5c01a52ceb8d)
Für das Spektrum lässt sich folgende Formel beweisen:
.
Die Formel
ist nach der hier vorgestellten Konstruktion nicht selbstverständlich, kann aber relativ leicht gezeigt werden. Allgemeiner hat der Ausdruck
für ein Polynom
zwei mögliche Interpretationen: einmal als
im Sinne des oben vorgestellten Kalküls und einmal als
im Sinne des Einsetzens in ein Polynom. Beide Interpretationen stimmen überein, das heißt
für alle Polynome
.
Quellen