Zimmer-Vermutung

Die Zimmer-Vermutung ist eine 1983 von Robert Zimmer aufgestellte Vermutung aus der Mathematik. Sie kann als „nichtlineare“ Version des Superstarrheitssatzes von Margulis angesehen werden.

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ ein Gitter in einer Lie-Gruppe vom Rang ${\displaystyle r\geq 2}$. Margulis‘ Superstarrheitssatz besagt, dass lineare Darstellungen von ${\displaystyle \Gamma }$ entweder Einschränkungen von Darstellungen von ${\displaystyle G}$ sind oder endliches Bild haben. Die Zimmer-Vermutung ist eine analoge Vermutung für Gruppenwirkungen auf Mannigfaltigkeiten. Sie besagt, dass eine Wirkung von ${\displaystyle \Gamma }$ auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension höchstens ${\displaystyle r-1}$ über die Wirkung einer endlichen Gruppe faktorisieren muss. Insbesondere besagt sie für Gitter in der speziellen linearen Gruppe ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$, dass Wirkungen auf Mannigfaltigkeiten der Dimension höchstens ${\displaystyle n-2}$ über die Wirkung einer endlichen Gruppe faktorisieren.

Für ${\displaystyle n=3}$, also Wirkungen von Gittern ${\displaystyle \Gamma \subset SL(3,\mathbb {R} )}$ auf dem Kreis, ist aus Arbeiten von Witte, Ghys und Burger-Monod bekannt, dass solche Wirkungen einen globalen Fixpunkt haben.

Für kokompakte Gitter in ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$ und auch für ${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}$ haben Brown-Fisher-Hurtado die Zimmer-Vermutung für ${\displaystyle C^{2}}$-Wirkungen bewiesen.

• D. Fisher: Recent progress in the Zimmer program