La operación fundamental en el cálculo diferencial es encontrar una derivada. Esta tabla enlista las derivadas de varias funciones. En lo sucesivo, f y g son funciones de x y c es una constante con respecto a x. Se presupone al conjunto de los números reales. Estas fórmulas son suficientes para diferenciar cualquier función elemental.
Reglas generales de diferenciación
- Linealidad
![{\displaystyle \left({f+g}\right)'=f'+g'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a356fcc9b7f291689d9de9086dd2fc12ed1af479)
![{\displaystyle \left({f-g}\right)'=f'-g'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4684ab43bc960df5b488f4b3ae3e7498c5e7f3)
![{\displaystyle \left({cf}\right)'=cf'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39da2451f330fae32b6ba571000d159d36cb0c46)
- Regla del producto
![{\displaystyle \left({fg}\right)'=f'.g+f.g'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/506c458543de3444d441e653e44875235feb00eb)
- Regla del cociente
![{\displaystyle \left({f \over g}\right)'={f'.g-f.g' \over g^{2}},\qquad g\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81fb683c6885bcda6cbe4310170963be9b89dc3)
- Caso particular
![{\displaystyle \left({\frac {1}{f}}\right)'={\frac {-f'}{f^{2}}},\qquad f\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7079c0e7194ea04e35b56e12af63b22ff96fe158)
- Regla de la cadena
![{\displaystyle (f\circ g)'=f'(g)g'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeef101409593d91712c2ce977fb5c3ebf85aa2a)
Derivadas de funciones simples
![{\displaystyle {d \over dx}k=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38292db3ea939ea870b76acd212608f20417f42)
![{\displaystyle {d \over dx}x=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e3d9ed50d0216e5b16c4827596e3fdcc2deacb)
![{\displaystyle {d \over dx}(cx)=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1da6def131ad3ace3b1cb7369eac0bedc8d84be)
![{\displaystyle {d \over dx}x^{c}=cx^{c-1}\qquad {\mbox{donde }}x^{c}{\mbox{ y }}cx^{c-1}{\mbox{ se encuentran definidos}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf514c62ca89330945c7648c0dcba26db1948db)
![{\displaystyle {d \over dx}(cx^{n})=cnx^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3baa0365c52021f4582b742bddafcb1d2210f352)
![{\displaystyle {d \over dx}|x|={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab282711712e4469b5172332961218d56e4d648)
![{\displaystyle {d \over dx}\left({1 \over x}\right)={d \over dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e841696967b58af8cc0eb528e604a7df0e52cdbd)
![{\displaystyle {d \over dx}\left({1 \over x^{c}}\right)={d \over dx}\left(x^{-c}\right)=-cx^{-c-1}=-{c \over x^{c+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e21e3f94455dd1d0f52cbfc68af6eb750777b6)
![{\displaystyle {d \over dx}({\sqrt[{n}]{x}})={1 \over n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}\,{\mbox{sea }}x>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b86bc48485fff354434722db46cb295c4d5edd)
![{\displaystyle {d \over dx}{\sqrt {x}}={d \over dx}x^{1 \over 2}={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db5a7c70c791c69e9f8c4591bd3765fd2cf723c)
![{\displaystyle {d \over dx}f(x)^{n}\ =nf(x)^{n-1}\cdot {d \over dx}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607cd3b5d1527c18a36d82151219e18cdaee19af)
- Derivada de la función inversa
,
para alguna función diferenciable f de un argumento real y con valores reales, cuando las composiciones indicadas e inversas existen.
![{\displaystyle {d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d595b56138acbd74c00aae36d407fe71f3b2dd7c)
![{\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}{d \over dx}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e53a4ea483a183624605bb1d34ca5021103c69c8)
![{\displaystyle {d \over dx}\log _{c}x={1 \over x\ln c}\qquad ,c>0,c\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11eb7195b2cc08e2025b01a180f90deee6d8d7df)
![{\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x}\qquad ,x>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed3baa20c3e2a7ce5e8cab6dee1df0fa8a0a2ba5)
![{\displaystyle {d \over dx}\ln |x|={1 \over x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ee002e46c6ad508619d162d8c484ee5637e265)
![{\displaystyle {d \over dx}x^{x}=x^{x}(1+\ln x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c2c2e041b4a0a9bcc2549f422a7134def94e97)
![{\displaystyle (f^{g})'=f^{g}\left(g'\ln f+{\frac {g}{f}}f'\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a534225b4c4de2dff22d9ef82f9326c92818cd2b)
- Derivada de la función potencial exponencial
![{\displaystyle {d \over dx}f(x)^{g(x)}=f(x)^{g(x)}\left({d \over dx}f(x)\cdot {g(x) \over f(x)}+{d \over dx}g(x)\cdot \ln f(x)\right),\qquad f(x)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8673770f591b7786a5e36bf4f46ee6976311ba41)
Derivadas de funciones trigonométricas
![{\displaystyle {d \over dx}\tan x=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b30019e792bf6115801f5dcbdb4bc0b86d6e72ac) ![{\displaystyle {d \over dx}\sec x=\sec x\tan x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ae7010c95acf5563430d79d5e6ada5e54945ce) ![{\displaystyle {d \over dx}\csc x=-\csc x\cot x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09258cdb5b76231c39367662468a13babd56c74c) ![{\displaystyle {d \over dx}\cot x=-\csc ^{2}x={-1 \over \operatorname {sen} ^{2}\,x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8118e7dd9ed55dbebbbe2daffbaf4da8594cbf1) ![{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcsen} \,x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5fe9d4ae3d7d25f44b32188d2687c06b09f0ea3) | ![{\displaystyle {d \over dx}\arccos x={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/694f1f1ec9823b1af7a76c435f1be1b8150536a4) ![{\displaystyle {d \over dx}\arctan x={1 \over 1+x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ffbeab56eb8ceb4a7bd93e7341b6a45170ba0ab) ![{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arcsec} x={1 \over x{\sqrt {x^{2}-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81092e4a080f70a8851af08cb6befb36095c9dfb) ![{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccsc} x={-1 \over x{\sqrt {x^{2}-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d7a86147558c3a3fb8794610957e3b53184aa9) ![{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccot} x={-1 \over 1+x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e67da0f756cdcf3ace4c4f2fc64f822b4b5a40d) |
- Derivadas trigonométricas cíclicas (Criterios de la primera, segunda y tercera derivadas)
[1] [2] | ![{\displaystyle {d \over dx}\,-\operatorname {sen} \,x=-\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c23dc16b3de1b1c1497a3477eda0d69ff33bb4c8) ![{\displaystyle {d \over dx}\,-\operatorname {cos} \,x=\operatorname {sen} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95fa2205e164e686f42ad65461d6809e40bdef52) |
![{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {senh} \,x=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8ac214f174ec4a9ea8833d4d3df74fea2178f0) ![{\displaystyle {d \over dx}\cosh x=\operatorname {senh} \,x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/361c2e6db2664c744756b08bb89921ccbf150078) ![{\displaystyle {d \over dx}\tanh x=\operatorname {sech} ^{2}\,x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a56722a21abd43b5eeddcc7744d8c31e97ae539) ![{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {sech} \,x=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28880630ee4e456ecbc143a9b123e4705eeb42e3) ![{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {csch} \,x=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238fb46cafcce56060527323df58700a51db119a) ![{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {coth} \,x=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ceb55e3a64e4aba52689b1be832a22e2900f16) | ![{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {argsenh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b180d3adeb8a831b6b13a6b3b7c1e4c1c4d075) ![{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {argcosh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76c83289102d9c21f6db930d4e2ecc327cb9f08c) ![{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {argtanh} \,x={1 \over 1-x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be8ffb4ae8852f0b13600d463b3647de82abd1e) ![{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {argsech} \,x={-1 \over |x|{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95912c0c2dc0f3b67e147b6ce73ea9e239486f9b) ![{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {argcsch} \,x={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce9c9acf0f6fc1bee43f89ddfe3e28f8d01287a) ![{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {argcoth} \,x={1 \over 1-x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/893652175c4ed42f6d250d611dff37f73bc1fc23) |
Derivadas de funciones especiales
![{\displaystyle (\zeta (x))'=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83273fb9cba9fa5f98cfe334c08c7887104da6fb)
![{\displaystyle (\zeta (x))'=-\sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q\ {\text{primo}},\ q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d11da9ca0b6907ceeeffa46b6429ce936777560)
Derivadas de distribuciones
(Función unitaria de Heaviside y Delta de Dirac)
(Función rampa y función unitaria de Heaviside)
(Valor absoluto y función signo)
Funciones elípticas
Las derivadas de la funciones elípticas de Jacobi son:
Derivadas de funciones definidas como integral
La fórmula de Leibniz para diferenciación de integrales establece que:[3]
Referencias
- ↑ Demostración de la derivada del seno en wikimatematica
- ↑ Demostración de la derivada del coseno en wikimatematica
- ↑ Weisstein, Eric W. «Leibniz Integral rule». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Bibliografía
- Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.