Conjunto absorbente
En análisis funcional y áreas relacionadas de matemáticas, un conjunto absorbente en un espacio vectorial es aquel conjunto que puede ampliarse para finalmente incluir siempre cualquier punto dado del espacio vectorial. Un término alternativo es conjunto radial. Cada entorno del origen en cada espacio vectorial topológico es un subconjunto absorbente.
Definición
Notación para escalares
Supóngase que es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales o de los números complejos , y para cualquier , sea
denota la bola abierta (respectivamente, la bola cerrada) de radio en centrada en .
Ahora, se define el producto de un conjunto de escalares sobre un conjunto de vectores como , y se define el producto de con un solo vector como .
Preliminares
Núcleo equilibrado y envolvente equilibrada
Se dice que un subconjunto de es equilibrado si para todos los y todos los escalares que satisfacen que . Esta condición se puede escribir de forma más sucinta como , y se cumple si y solo si .
Dado un conjunto , el conjunto equilibrado más pequeño que contiene a , denotado por , se denomina envolvente equilibrada de , mientras que el conjunto equilibrado más grande contenido dentro de , denotado por , se denomina núcleo equilibrado de . Estos conjuntos están dados por las fórmulas
y
(estas fórmulas muestran que la envolvente equilibrada y el núcleo equilibrado siempre existen y son únicos). Un conjunto está equilibrado si y solo si es igual a su envolvente equilibrada () o a su núcleo equilibrado (), en cuyo caso los tres conjuntos son iguales: .
Si es cualquier escalar, entonces
mientras que si es distinto de cero o si , entonces también
- .
Absorción de un conjunto por otro
Si y son subconjuntos de , entonces se dice que absorbe a si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
- Definición: Existe un real tal que para cada escalar que satisfaga . O dicho de manera más sucinta, para algún .
- Si el cuerpo escalar es , entonces intuitivamente, " absorbe a " significa que si se "aumenta" o "extiende" indefinidamente (refiriéndose a como ), entonces finalmente (para todos los positivos lo suficientemente grandes), todos los quedan contenidos en ; y de manera semejante, también debe contener finalmente a para todos los negativos de magnitud suficientemente grande.
- Esta definición depende de la norma canónica del cuerpo escalar subyacente (es decir, del valor absoluto ), lo que vincula esta definición a la topología euclídea habitual en el cuerpo escalar. En consecuencia, la definición de conjunto absorbente (que se proporciona a continuación) también está ligada a esta topología.
- Existe un real tal que para cada[nota 1] escalar distinto de cero que satisfaga que . O dicho de manera más sucinta, para algún .
- Debido a que esta unión es igual a , donde es la bola cerrada con el origen eliminado, esta condición puede reformularse como: para algunos .
- La desigualdad no estricta , se puede reemplazar con la desigualdad estricta , que es la siguiente caracterización.
- Existe un real tal que para cada[nota 1] escalar distinto de cero que satisfaga . O dicho de manera más sucinta, para algún .
- Aquí es la bola abierta con el origen eliminado y .
Si es un conjunto equilibrado, esta lista se puede ampliar para incluir:
- Existe un escalar distinto de cero tal que .
- Si , entonces se puede eliminar el requisito .
- Existe un escalar[nota 1] distinto de cero tal que .
Si (una condición necesaria para que sea un conjunto absorbente o sea un entorno del origen en una topología), entonces esta lista se puede ampliar para incluir:
- Existe tal que para cada escalar que satisfaga . O dicho de manera más sucinta, .
- Existe tal que para cada escalar que satisfaga . O dicho de manera más sucinta, .
- La inclusión equivale a (desde ). Debido a , esto se puede reescribir como , lo que da la siguiente declaración.
- Existe tal que .
- Existe tal que .
- Existe tal que .
- Las siguientes caracterizaciones se derivan de las anteriores y del hecho de que para cada escalar , el envolvente equilibrada de satisface que y (desde ) su núcleo equilibrado satisface que .
- Existe tal que . En otras palabras, un conjunto es absorbido por si está contenido en algún múltiplo escalar positivo del núcleo equilibrado de .
- Existe tal que .
- Existe un escalar tal que . En otras palabras, se puede escalar para contener la envolvente equilibrada de .
- Existe un escalar tal que .
- Existe un escalar tal que . En otras palabras, se puede escalar para que su núcleo equilibrado contenga a .
- Existe un escalar tal que .
- Existe un[nota 1] escalar distinto de cero tal que . En otras palabras, el núcleo equilibrado de contiene algún múltiplo escalar distinto de cero de .
Si es o , esta lista se puede ampliar para incluir:
- absorbe (de acuerdo con cualquier condición definitoria de "absorber" distinta de ésta).
- En otras palabras, puede ser reemplazado por en las caracterizaciones anteriores si es (o trivialmente, si se da el caso de que ).
Absorción de un punto por un conjunto
Se dice que un conjunto absorbe un punto si absorbe el conjunto unitario . Un conjunto absorbe el origen si y solo si contiene el origen; es decir, si y solo si . Como se detalla a continuación, se dice que un conjunto es absorbente en si absorbe todos los puntos de .
Esta noción de que un conjunto absorbe a otro también se utiliza en otras definiciones: Un subconjunto de un espacio vectorial topológico se llama acotado si es absorbido por todos los entornos del origen. Un conjunto se llama bornívoro si absorbe a todos los subconjuntos acotados.
Primeros ejemplos
Cada conjunto absorbe el conjunto vacío, pero el conjunto vacío no absorbe ningún conjunto que no esté vacío. El conjunto de un solo punto que contiene el origen es el único subconjunto de un punto que se absorbe a sí mismo.
Supóngase que es igual a o . Si es la circunferencia unidad (centrada en el origen ) junto con el origen, entonces es el único conjunto no vacío que absorbe . Además, no existe un subconjunto no vacío de que sea absorbido por la circunferencia unitaria . En contraste, cada entorno del origen absorbe cada subconjunto acotado de (y, por lo tanto, en particular, absorbe cada subconjunto formado por un único punto).
Conjunto absorbente
Un subconjunto de un espacio vectorial sobre un cuerpo se denomina subconjunto absorbente de y se dice que es absorbente en si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes (aquí ordenadas de modo que cada condición sea una consecuencia sencilla de la anterior, empezando por la definición):
- Definición: absorbe cada punto de es decir, para cada , absorbe .
- Entonces, en particular, no puede ser absorbente si . Todo conjunto absorbente debe contener el origen.
- absorbe cada subconjunto finito de .
- Para cada , existe un real tal que para cualquier escalar que satisfaga .
- Para cada , existe un real tal que para cualquier escalar que satisfaga .
- Para cada , existe un real tal que .
- Aquí es la bola abierta de radio en el cuerpo escalar centrada en el origen y .
- Se puede utilizar la bola cerrada en lugar de la bola abierta.
- Debido a , la inclusión se cumple si y solo si . Esto prueba la siguiente afirmación:
- Para cada , existe un real tal que , donde .
- Conexión a la topología: Si a se le da su habitual topología euclídea de Hausdorff, entonces el conjunto es un entorno del origen en , por lo tanto, existe un real tal que si y solo si es un entorno del origen en . En consecuencia, satisface esta condición si y solo si para cada , es un entorno de en cuando a se le da la topología euclídea. De lo anterior se obtiene la siguiente caracterización:
- Las únicas topologías EVT[nota 2] en un espacio vectorial unidimensional son la topología trivial (no de Hausdorff) y la topología euclídea de Hausdorff. Cada subespacio vectorial unidimensional de tiene la forma para algún no nulo y si este espacio unidimensional está dotado de la (única) topología vectorial de Hausdorff, entonces la aplicación definida por es necesariamente un espacio vectorial topológico (donde, como de costumbre, está dotado de su topología euclídea estándar inducida por la distancia euclídea).
- contiene el origen y para cada subespacio vectorial unidimensional de , es un entorno del origen en cuando a se le da su topología vectorial única de Hausdorff.
- Conexión con las topologías de los espacios vectoriales: Esta condición da una idea de por qué cada entorno del origen en cada espacio vectorial topológico (EVT) es necesariamente absorbente: si es un entorno del origen en un EVT , entonces por cada subespacio vectorial 1-dimensional , es un entorno del origen en cuando está dotado de la topología del subespacio inducida en él por . Esta topología de l subespacio es siempre una topología vectorial[nota 2] y debido a que es unidimensional, las únicas topologías vectoriales que contiene son la topología euclídea de Hausdorff y la topología trivial, que es un subconjunto de la topología euclídea. Entonces, independientemente de cuál de estas topologías vectoriales esté en , el conjunto será un entorno del origen en con respecto a su topología vectorial única de Hausdorff (la topología euclídea).[nota 3] Por lo tanto, es absorbente.
- La razón por la que se distingue la topología euclídea en esta caracterización se debe en última instancia al requisito definitorio de las topologías EVT[nota 2] de que la multiplicación escalar sea continua cuando al cuerpo escalar se le da esta topología (euclídea).
- Conexión con las topologías de los espacios vectoriales: Esta condición da una idea de por qué cada entorno del origen en cada espacio vectorial topológico (EVT) es necesariamente absorbente: si es un entorno del origen en un EVT , entonces por cada subespacio vectorial 1-dimensional , es un entorno del origen en cuando está dotado de la topología del subespacio inducida en él por . Esta topología de l subespacio es siempre una topología vectorial[nota 2] y debido a que es unidimensional, las únicas topologías vectoriales que contiene son la topología euclídea de Hausdorff y la topología trivial, que es un subconjunto de la topología euclídea. Entonces, independientemente de cuál de estas topologías vectoriales esté en , el conjunto será un entorno del origen en con respecto a su topología vectorial única de Hausdorff (la topología euclídea).[nota 3] Por lo tanto, es absorbente.
- contiene el origen y para cada subespacio vectorial unidimensional de , es absorbente en .
- Aquí absorber se puede considerar según cualquier condición definitoria distinta de ésta.
- Esta caracterización muestra que la propiedad de ser absorbente en depende solo de cómo se comporta con respecto a subespacios vectoriales de 1 (o 0) dimensiones de . Por el contrario, si un subespacio vectorial de dimensión finita de tiene dimensión y está dotado de su topología EVT única de Hausdorff, entonces ya no es absorbente en , condición suficiente para garantizar que sea un entorno del origen en (aunque seguirá siendo una condición necesaria). Para que esto suceda, basta con que sea un conjunto absorbente que también sea convexo, equilibrado y cerrado en (dicho conjunto se llama barril y será un entorno del origen en porque como todo espacio euclídeo de dimensión finita, es un espacio abarrilado).
Si entonces a esta lista se puede agregar:
- El interior algebraico de contiene el origen (esto es, ).
Si es equilibrado, se puede agregar a esta lista:
- Para cada , existe un escalar tal que [1] (o equivalentemente, tal que ).
- Para cada , existe un escalar tal que .
Si es convexo o equilibrado, entonces a esta lista se puede agregar:
- Para cada , existe un real positivo tal que .
- La prueba de que un conjunto equilibrado que satisface esta condición es necesariamente absorbente en se sigue inmediatamente de la condición (10) anterior y del hecho de que para todos los escalares (donde es real).
- La prueba de que un conjunto convexo que satisface esta condición es necesariamente absorbente en es menos trivial (pero no difícil). En esta nota al pie[demo 1] se proporciona una prueba detallada, y además a continuación se ofrece un resumen.
- Resumen de la demostración: Por suposición, para cualquier distinto de cero, es posible elegir y reales positivos de modo que y de modo que el conjunto convexo contenga el subintervalo abierto , que contiene el origen ( se llama intervalo, ya que se identifica con y cada subconjunto convexo no vacío de es un intervalo). Dados su topología vectorial única de Hausdorff, queda por demostrar que es un entorno del origen en . Si es , entonces se ha terminado, así que supóngase que . El conjunto es una unión de dos intervalos, cada uno de los cuales contiene un subintervalo abierto que a su vez contiene el origen. Además, la intersección de estos dos intervalos es precisamente el origen. Entonces, la envolvente convexa de , que está contenida en el conjunto convexo , contiene claramente una bola abierta alrededor del origen.
- Para cada , existe un real positivo tal que .
- Esta condición equivale a que: todo pertenece al conjunto . Esto sucede si y solo si , que da la siguiente caracterización:
- .
- Se puede demostrar que para cualquier subconjunto de , si y solo si para cada , donde
- Por cada , .
Si (lo que es necesario para que sea absorbente), entonces es suficiente verificar cualquiera de las condiciones anteriores para todos los , distintos de cero en lugar de para todos los .
Ejemplos y condiciones suficientes
Para que un conjunto pueda absorber a otro
Sea una aplicación lineal entre espacios vectoriales y sean y conjuntos equilibrados. Entonces absorbe si y solo si absorbe .[2]
Si un conjunto absorbe otro conjunto , entonces cualquier superconjunto de también absorbe a . Un conjunto absorbe el origen si y solo si el origen es un elemento de .
Un conjunto absorbe una unión finita de conjuntos si y solo absorbe cada elemento individual del conjunto (es decir, si y solo si absorbe para cada ). En particular, un conjunto es un subconjunto absorbente de si y solo si absorbe cada subconjunto finito de .
Para que un conjunto sea absorbible
La 1-esfera de cualquier espacio vectorial normado (o espacio vectorial seminormado) es absorbente. De manera más general, si es un espacio vectorial topológico (EVT), entonces cualquier entorno del origen en es absorbente en . Este hecho es una de las principales motivaciones para definir la propiedad "absorbible en ".
Cada superconjunto de un conjunto absorbente es absorbente. En consecuencia, la unión de cualquier familia de (uno o más) conjuntos absorbentes es absorbente. La intersección de un número finito de subconjuntos absorbentes es una vez más un subconjunto absorbente. Sin embargo, las bolas abiertas de radio son todas absorbentes en aunque su intersección no es absorbente.
Si es un disco (un subconjunto convexo y equilibrado), entonces y, por lo tanto, en particular, un disco es siempre un subconjunto absorbente de .[3]. Por lo tanto, si es un disco en , entonces está absorbido en si y solo si . Esta conclusión no está garantizada si el conjunto es equilibrado pero no convexo. Por ejemplo, la unión de los ejes e en es un conjunto equilibrado no convexo que no es absorbente en .
La imagen de un conjunto absorbible bajo un operador lineal sobreyectivo vuelve a ser absorbible. La imagen inversa de un subconjunto absorbible (del codominio) bajo un operador lineal es nuevamente absorbible (en el dominio). Si es absorbente, lo mismo ocurre con su conjunto simétrico .
Espacios normados auxiliares
Si es convexo y absorbible en , entonces el conjunto simétrico será convexo y equilibrado (también conocido como conjunto absolutamente convexo o disco) además de ser absorbible en . Esto garantiza que el funcional de Minkowski de sea un seminorma en , convirtiendo así a en una seminorma que lleva su topología canónica pseudometrizable. El conjunto de múltiplos escalares como se extiende sobre (o sobre cualquier otro conjunto de escalares distintos de cero que tenga como punto límite) forma una base de entornos de discos absorbentes en el origen de esta topología localmente convexa. Si es un espacio vectorial topológico y si este subconjunto absorbente convexo también es un subconjunto acotado de , entonces todo esto también será cierto para el disco absorbente . Si además no contiene ningún subespacio vectorial no trivial, entonces será una norma y formará lo que se conoce como un espacio normado auxiliar.[4] Si este espacio normado es un espacio de Banach, entonces se llama disco de Banach.
Propiedades
Cada conjunto absorbente contiene el origen. Si es un disco absorbente en un espacio vectorial , entonces existe un disco absorbente en tal que .[5]
Si es un subconjunto absorbente de , entonces y, de manera más general, para cualquier secuencia de escalares tal que . En consecuencia, si un espacio vectorial topológico es un subconjunto no exiguo de sí mismo (o de manera equivalente para ETV, si es un espacio de Baire) y si es un subconjunto absorbente cerrado de , entonces contiene necesariamente un subconjunto abierto no vacío de (en otras palabras, el interior de no estará vacío), lo que garantiza que sea un entorno del origen en .
Véase también
- Interior algebraico
- Conjunto absolutamente convexo
- Conjunto equilibrado
- Conjunto bornívoro
- Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
- Convexidad
- Espacio localmente convexo
- Conjunto radial
- Dominio en estrella
- Conjunto simétrico
- Espacio vectorial topológico
Notas
- ↑ a b c d El requisito de que el escalar sea distinto de cero no se puede eliminar de esta caracterización.
- ↑ a b c Una topología en un espacio vectorial se llama espacio vectorial topológico o topología EVT si hace que la suma vectorial y la multiplicación escalar sean continuas cuando al cuerpo escalar se le da su norma inducida por la topología euclídea habitual (esa norma es el valor absoluto ). Dado que las restricciones de funciones continuas también son continuas, si es un subespacio vectorial de un EVT , las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar de también serán continuas. Por lo tanto, la topología del subespacio que cualquier subespacio vectorial hereda de un EVT volverá a ser una topología vectorial.
- ↑ Si es un entorno del origen en un EVT , entonces sería ilógico si existiera cualquier subespacio vectorial unidimensional en el que no fuera un entorno del origen en al menos alguna topología EVT en . Las únicas topologías EVT en son la topología euclídea de Hausdorff y la topología trivial, que es un subconjunto de la topología euclídea. En consecuencia, este problema no se produce si y solo si es un entorno de en la topología euclídea para todos los subespacios vectoriales unidimensionales de , que es exactamente la condición de que esté absorbido en . El hecho de que todos los entornos del origen en todas las EVT sean necesariamente absorbentes significa que este comportamiento ilógico no se producee.
Demostraciones
- ↑ Demostración: Sea un espacio vectorial sobre el campo , siendo o , y dote al campo de su habitual topología euclidiana normada. Sea un conjunto convexo tal que para cada , existe un real positivo tal que . Debido a , si entonces la prueba está completa, asuma . Claramente, todo subconjunto convexo no vacío de la recta real es un intervalo (posiblemente abierto, cerrado o semicerrado; posiblemente degenerado (es decir, un conjunto unitario); posiblemente acotado o ilimitado). Recuerde que la intersección de conjuntos convexos es convexa de modo que para cada , los conjuntos y son convexos, donde ahora la convexidad de (que contiene el origen y está contenida en la línea ) implica que es un intervalo contenido en la línea . Lema: Si entonces el intervalo contiene un subintervalo abierto que contiene el origen. Prueba del lema: Por suposición, desde podemos elegir algún tal que y (porque ) también podemos elegir algún tal que , donde y (desde ). Debido a que es convexo y contiene los puntos distintos y , contiene el casco convexo de los puntos , que (en particular) contiene el subintervalo abierto , donde este subintervalo abierto contiene el origen (para ver por qué , tome , que satisface ), lo que prueba el lema. Ahora arregle , deje que . Debido a que era arbitrario, para demostrar que es absorbente en es necesario y suficiente demostrar que es un entorno del origen en cuando a se le da su topología euclidiana de Hausdorff habitual, donde recordemos que esta topología define el mapa . por en un isomorfismo TVS. Si , entonces el hecho de que el intervalo contenga un subintervalo abierto alrededor del origen significa exactamente que es un entorno del origen en , lo que completa la prueba. Entonces supongamos que . Escriba , de modo que y (ingenuamente, es el "eje " y es el "eje " de ). El conjunto está contenido en el conjunto convexo , de modo que el casco convexo de está contenido en . Según el lema, cada uno de y son segmentos de línea (intervalos) y cada segmento contiene el origen en un subintervalo abierto; además, se cruzan claramente en el origen. Elija un real tal que y . Sea la cáscara convexa de , que está contenida en la cáscara convexa de y, por tanto, también contenida en el conjunto convexo . Para finalizar la prueba, basta demostrar que es un entorno de en . Visto como un subconjunto de plano complejo , tiene la forma de un cuadrado abierto con sus cuatro esquinas en los ejes positivo y negativo y (es decir, en , , y ). Por lo tanto, se verifica fácilmente que contiene la bola abierta de radio centrada en el origen de . Por tanto, es un entorno del origen en , como se desea.
Referencias
- ↑ Narici y Beckenstein, 2011, pp. 107-110.
- ↑ Narici y Beckenstein, 2011, pp. 441-457.
- ↑ Narici y Beckenstein, 2011, pp. 67-113.
- ↑ Narici y Beckenstein, 2011, pp. 115-154.
- ↑ Narici y Beckenstein, 2011, pp. 149-153.
Bibliografía
- Berberian, Sterling K. (1974). Lectures in Functional Analysis and Operator Theory. Graduate Texts in Mathematics 15. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401.
- Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topological Vector Spaces: Chapters 1–5 (Eggleston, H.G.; Madan, S., trad.). Elementos de matemática. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190.
- Nicolas, Bourbaki (2003). Topological vector spaces Chapter 1-5 (English Translation). New York: Springer-Verlag. p. I.7. ISBN 3-540-42338-9.
- Conway, John (1990). A course in functional analysis. Graduate Texts in Mathematics 96 (2nd edición). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
- Diestel, Joe (2008). The Metric Theory of Tensor Products: Grothendieck's Résumé Revisited 16. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 9781470424831. OCLC 185095773.
- Dineen, Seán (1981). Complex Analysis in Locally Convex Spaces. North-Holland Mathematics Studies 57. Amsterdam New York New York: North-Holland Pub. Co., Elsevier Science Pub. Co. ISBN 978-0-08-087168-4. OCLC 16549589.
- Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1988). Linear Operators. Pure and applied mathematics 1. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC 18412261.
- Edwards, Robert E. (1995). Functional Analysis: Theory and Applications. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
- Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces (Chaljub, Orlando, trad.). New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
- Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologies and Functional Analysis: Introductory Course on the Theory of Duality Topology-Bornology and its use in Functional Analysis. North-Holland Mathematics Studies 26. Amsterdam New York New York: North Holland. ISBN 978-0-08-087137-0. MR 0500064. OCLC 316549583.
- Hogbe-Nlend, Henri; Moscatelli, V. B. (1981). Nuclear and Conuclear Spaces: Introductory Course on Nuclear and Conuclear Spaces in the Light of the Duality "topology-bornology". North-Holland Mathematics Studies 52. Amsterdam New York New York: North Holland. ISBN 978-0-08-087163-9. OCLC 316564345.
- Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665.
- Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
- Keller, Hans (1974). Differential Calculus in Locally Convex Spaces. Lecture Notes in Mathematics 417. Berlin New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-06962-1. OCLC 1103033.
- Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
- Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
- Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topological Vector Spaces I (Garling, D.J.H., trad.). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 159. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
- Köthe, Gottfried (1979). Topological Vector Spaces II. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 237. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Pietsch, Albrecht (1979). Nuclear Locally Convex Spaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 66 (Second edición). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC 539541.
- Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
- Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. p. 4.
- Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics 8 (Second edición). New York, NY: McGraw Hill Education. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
- Thompson, Anthony C. (1996). Minkowski Geometry. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40472-X. (requiere registro).
- Schaefer, Helmut H. (1971). Topological vector spaces. GTM 3. New York: Springer-Verlag. p. 11. ISBN 0-387-98726-6.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
- Schaefer, H. H. (1999). Topological Vector Spaces. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Swartz, Charles (1992). An introduction to Functional Analysis. New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
- Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
- Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.
- Wong, Yau-Chuen (1979). Schwartz Spaces, Nuclear Spaces, and Tensor Products. Lecture Notes in Mathematics 726. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC 5126158.
Datos: Q332775