Las coordenadas biesféricas[1] son un sistema de referencia tridimensional ortogonal que resulta de rotar un sistema de coordenadas bipolares bidimensional sobre el eje que conecta sus dos focos. Por lo tanto, los dos focos y en coordenadas bipolares siguen siendo puntos (en el eje , el eje de rotación) en el sistema de coordenadas biesféricas.
Definición
La definición más común de las coordenadas biesféricas es
donde la coordenada de un punto es igual al ángulo y la coordenada es igual al logaritmo de la relación de las distancias y a los dos focos
Los rangos de coordenadas son -∞ < < ∞, 0 ≤ ≤ y 0 ≤ ≤ 2.
Superficies coordenadas
Las superficies de constante corresponden a toros de diferentes radios que se intersecan
que pasan todos por los focos pero no son concéntricos. Las superficies de constante son esferas de diferentes radios
que no se intersecan
que rodean a los focos. Los centros de las esferas de constante se encuentran en el eje , mientras que los toros de constante están centrados en el plano .
Fórmulas inversas
Las fórmulas para la transformación inversa son:
donde y
Factores de escala
Los factores de escala para las coordenadas biesféricas y son iguales entre sí
mientras que el factor de escala azimutal es igual a
Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual a
y el laplaciano viene dado por
Otros operadores diferenciales como y se pueden expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en el artículo dedicado a las coordenadas ortogonales.
↑R. Shankar Subramanian, R. Balasubramaniam (2001). The Motion of Bubbles and Drops in Reduced Gravity. Cambridge University Press. pp. 229 de 471. ISBN 9780521496056. Consultado el 30 de julio de 2024.
Bibliografía
Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Parts I and II. New York: McGraw-Hill. pp. 665–666, 1298–1301.
Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 182. LCCN 59014456.
Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 113. ISBN 0-86720-293-9.
Moon PH, Spencer DE (1988). «Bispherical Coordinates (η, θ, ψ)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print edición). New York: Springer Verlag. pp. 110–112 (Section IV, E4Rx). ISBN 0-387-02732-7.
Enlaces externos
Descripción de las coordenadas bisféricas de MathWorld