Determinante de Hurwitz

En matemáticas, los determinantes de Hurwitz, introducidos por el matemático alemán Adolf Hurwitz en 1895, es una serie de determinantes que son utilizados para dar un criterio a todas las raíces de un polinomio para que tengan una parte real negativa.

Consideremos un polinomio característico ${\displaystyle P}$ en la variable ${\displaystyle \lambda }$ de la manera:

${\displaystyle P(\lambda )=a_{0}\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_{n}}$

donde${\displaystyle a_{i}}$, ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,n}$ son reales.

La matriz de Hurwitz cuadrada asociada a ${\displaystyle P}$ está dada como:

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.}$

El determinante de Hurwitz número ${\displaystyle i}$ es el determinante del primer menor número ${\displaystyle i}$ de la matriz de Hurwitz ${\displaystyle H}$. Existen ${\displaystyle n}$ determinantes de Hurwitz para un polinomio característico de grado ${\displaystyle n}$.

• Hurwitz, Adolf (1895). «Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt». Mathematische Annalen (en alemán) (Sajonia, Alemania) 46: 273-284. ISSN 0025-5831. doi:10.1007/BF01446812. 
• Wall, H. S. (1945). «Polynomials whose zeros have negative real parts». The American Mathematical Monthly (en inglés) (Washington D. C., Estados Unidos: MAA) 52 (6): 308-322. ISSN 0002-9890. doi:10.2307/2305291.