Diferencial total

En análisis matemático, la diferencial total de una función real de diversas variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función.

Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el número de variables dependientes de la función. Por ejemplo, si ${\displaystyle z=z(x,y)\,}$ una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:

${\displaystyle dz={\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\in \Lambda ^{1}(\mathbb {R} ^{2})}$

En cálculo vectorial, la diferencial total de una función ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ se puede representar de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}}$

donde f es una función ${\displaystyle f=f(x_{1},x_{2},..\;..,x_{n})\,}$.

La derivada total viene de derivar una función ${\displaystyle f}$ que tiene variables ${\displaystyle (x,y,z)}$ que dependen de otras variables ${\displaystyle x=x(t),y=y(t),z=z(t)}$. En ese caso, se puede derivar la función respecto a t, y se obtiene que:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot x'+{\frac {\partial f}{\partial y}}\cdot y'+{\frac {\partial f}{\partial z}}\cdot z'}$

donde x' es la derivada respecto a t de x, ${\displaystyle x'={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}$ al igual que y', z'.

Se vuelve necesaria distinguir la notación de derivada total de la parcial cuando se deriva una función del tipo ${\displaystyle f(t,x,x')}$ que es fundamental para el cálculo de variaciones, donde aquí la variable x depende del tiempo ${\displaystyle x=x(t),\ x'={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}$ Entonces derivar respecto al tiempo queda

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot x'+{\frac {\partial f}{\partial x'}}\cdot x''}$

Una función sencilla:

${\displaystyle y=x^{2}+3x+5}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=2x+3}$

${\displaystyle \mathrm {d} y=(2x+3)\mathrm {d} x}$

Un ejemplo más complejo e ilustrativo:

${\displaystyle z=f(x,y)=x^{3}+\sin(y)}$

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3x^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}=\cos(y)}$

${\displaystyle \mathrm {d} z={\frac {\partial z}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial z}{\partial y}}\mathrm {d} y=3x^{2}\mathrm {d} x+\cos(y)\mathrm {d} y}$

Dadas ${\displaystyle P:A\subseteq \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\ Q:B\subseteq \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} }$ dos funciones con ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\partial P}{\partial y}}}$ y ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}}$ continuas en algún subconjunto de A ∩ B, si se supone a este último no vacío.

Puede demostrarse que el primer miembro de esta ecuación es una diferencial total si y solo si

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}.}$

Estas ecuaciones también se llaman ecuación diferencial exacta.

• Ecuación diferencial
• Cálculo diferencial

• Weisstein, Eric W. «Total Derivative». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.