Espacio B-convexo

En análisis funcional, los espacios B-convexos (o también B convexos) son una clase de espacios de Banach. El concepto de B convexidad fue definido y utilizado por Anatole Beck en 1962 para caracterizar los espacios de Banach que cumplen la ley de los grandes números. Por consiguiente, se entiende por B-convexidad una abreviatura de convexidad de Beck.

Fue precisamente Beck quien demostró el siguiente teorema: un espacio de Banach es B-convexo si y solo si cada secuencia independiente, simétrica, uniformemente acotada y variable aleatoria de Radon en ese espacio satisface la ley fuerte de los grandes números.

Sea X un espacio de Banach con norma || ||. Se dice que X es B-convexo si para algunos ε  > 0 y algunos números naturales n, es cierto que siempre que x₁, ..., x_n sean elementos de la 1-esfera de X, existe una opción de signos α₁, ..., α_n ∈ {−1, +1} tal que:

${\displaystyle \left\|\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}\right\|\leq (1-\varepsilon )n.}$

Autores posteriores han demostrado que la B convexidad es equivalente a otras propiedades importantes en la teoría de los espacios de Banach. Gilles Pisier demostró que ser B-convexo y tener tipo de Rademacher ${\displaystyle p>1}$ eran propiedades equivalentes en los espacios de Banach.

• Beck, Anatole (1962). «A convexity condition in Banach spaces and the strong law of large numbers». Proc. Amer. Math. Soc. 13 (2): 329-334. ISSN 0002-9939. MR 0133857. doi:10.1090/S0002-9939-1962-0133857-9. 
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probability in Banach spaces. Berlin: Springer-Verlag. pp. xii+480. ISBN 3-540-52013-9. MR 1102015.  (Véase capítulo 9)