Espacio LB
En matemáticas, un espacio LB, también escrito como (LB)-espacio, es un espacio vectorial topológico (EVT) que es un límite directo localmente convexo de un sistema inductivo numerable de espacios de Banach. Esto significa que es un límite directo de un sistema directo en la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos y que cada es un espacio de Banach.
Si cada una de las aplicaciones de enlace es una incorporación de EVT, entonces el espacio LB se denomina espacio LB estricto. Esto significa que la topología inducida en por es idéntica a la topología original en [1] Algunos autores (por ejemplo, Schaefer) definen el término "espacio LB" como "espacio LB estricto", por lo que al leer determinados textos matemáticos, se recomienda comprobar siempre cómo se ha definido el espacio LB.
Definición
La topología de se puede describir especificando que un subconjunto absolutamente convexo es un entorno de si y solo si es un entorno absolutamente convexo de en para cada
Propiedades
Un espacio LB estricto es completo,[2] barrilado,[2] y bornológico[2] (y por lo tanto, ultrabornológico).
Ejemplos
Si es un espacio topológico localmente compacto que es numerable en el infinito (es decir, es igual a una unión contable de subespacios compactos), entonces el espacio de todas las funciones continuas de valores complejos en con soporte compacto es un espacio LB estricto.[3] Para cualquier subconjunto compacto denótese por el espacio de Banach de funciones de valores complejos admitidas por con la norma uniforme y ordénese la familia de subconjuntos compactos de por inclusión.[3]
- Topología final en el límite directo de espacios euclidianos de dimensión finita
Sea
que denota el espacio de secuencias finitas, donde denota todas las secuencias de números reales. Para cada número natural sea el espacio euclídeo habitual dotado con una topología euclídea y sea la inclusión canónica definida por de modo que su imagen sea
y consecuentemente,
Dótese ahora al conjunto con la topología final inducido por la familia de todas las inclusiones canónicas. Con esta topología, se convierte en un espacio vectorial topológico secuencial localmente convexo de Hausdorff y completo; es decir, no es un espacio de Fréchet-Urysohn.
La topología es estrictamente más fina que la topología del subespacio inducida en por donde está dotada de su topología producto habitual. Dota a la imagen de la topología final inducida en ella por la función biyectiva , es decir, está dotada de la topología euclídea transferida a ella desde a través de Esta topología en es igual a la topología subespacial inducida por Un subconjunto está abierto (o cerrado) en si y solo si para cada el conjunto es un subconjunto abierto (o cerrado) de La topología es coherente con la familia de subespacios Esto convierte a en un espacio LB. En consecuencia, si y son una secuencia en , entonces en si y solo si existe algún tal que tanto como estén contenidos en y en
A menudo, para cada se utiliza la inclusión canónica para identificar con su imagen en de forma explícita, los elementos y se identifican juntos. Bajo esta identificación, se convierte en un límite directo del sistema directo donde para cada la aplicación es la inclusión canónica definida por donde hay ceros finales.
Contraejemplos
Existe un espacio LB bornológico cuyo bidual fuerte es no bornológico.[4] Existe un espacio LB que no es cuasi completo.[4]
Véase también
Referencias
- ↑ Schaefer y Wolff, 1999, pp. 55-61.
- ↑ a b c Schaefer y Wolff, 1999, pp. 60-63.
- ↑ a b Schaefer y Wolff, 1999, pp. 57-58.
- ↑ a b Khaleelulla, 1982, pp. 28-63.
Bibliografía
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Datos: Q96386529