Espacio LB

En matemáticas, un espacio LB, también escrito como (LB)-espacio, es un espacio vectorial topológico (EVT) ${\displaystyle X}$ que es un límite directo localmente convexo de un sistema inductivo numerable ${\displaystyle (X_{n},i_{nm})}$ de espacios de Banach. Esto significa que ${\displaystyle X}$ es un límite directo de un sistema directo ${\displaystyle \left(X_{n},i_{nm}\right)}$ en la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos y que cada ${\displaystyle X_{n}}$ es un espacio de Banach.

Si cada una de las aplicaciones de enlace ${\displaystyle i_{nm}}$ es una incorporación de EVT, entonces el espacio LB se denomina espacio LB estricto. Esto significa que la topología inducida en ${\displaystyle X_{n}}$ por ${\displaystyle X_{n+1}}$ es idéntica a la topología original en ${\displaystyle X_{n}.}$^[1]​ Algunos autores (por ejemplo, Schaefer) definen el término "espacio LB" como "espacio LB estricto", por lo que al leer determinados textos matemáticos, se recomienda comprobar siempre cómo se ha definido el espacio LB.

La topología de ${\displaystyle X}$ se puede describir especificando que un subconjunto absolutamente convexo ${\displaystyle U}$ es un entorno de ${\displaystyle 0}$ si y solo si ${\displaystyle U\cap X_{n}}$ es un entorno absolutamente convexo de ${\displaystyle 0}$ en ${\displaystyle X_{n}}$ para cada ${\displaystyle n.}$

Un espacio LB estricto es completo,^[2]​ barrilado,^[2]​ y bornológico^[2]​ (y por lo tanto, ultrabornológico).

Si ${\displaystyle D}$ es un espacio topológico localmente compacto que es numerable en el infinito (es decir, es igual a una unión contable de subespacios compactos), entonces el espacio ${\displaystyle C_{c}(D)}$ de todas las funciones continuas de valores complejos en ${\displaystyle D}$ con soporte compacto es un espacio LB estricto.^[3]​ Para cualquier subconjunto compacto ${\displaystyle K\subseteq D,}$ denótese por ${\displaystyle C_{c}(K)}$ el espacio de Banach de funciones de valores complejos admitidas por ${\displaystyle K}$ con la norma uniforme y ordénese la familia de subconjuntos compactos de ${\displaystyle D}$ por inclusión.^[3]​

Topología final en el límite directo de espacios euclidianos de dimensión finita

Sea

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\mathbb {R} ^{\infty }~&:=~\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{all but finitely many }}x_{i}{\text{are equal to 0 }}\right\},\end{alignedat}}}$

que denota el espacio de secuencias finitas, donde ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ denota todas las secuencias de números reales. Para cada número natural ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ sea ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ el espacio euclídeo habitual dotado con una topología euclídea y sea ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{\infty }}$ la inclusión canónica definida por ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)}$ de modo que su imagen sea

${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\}=\mathbb {R} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$

y consecuentemente,

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$

Dótese ahora al conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ con la topología final ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ inducido por la familia ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{\;\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}}$ de todas las inclusiones canónicas. Con esta topología, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ se convierte en un espacio vectorial topológico secuencial localmente convexo de Hausdorff y completo; es decir, no es un espacio de Fréchet-Urysohn.

La topología ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ es estrictamente más fina que la topología del subespacio inducida en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$ donde ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ está dotada de su topología producto habitual. Dota a la imagen ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ de la topología final inducida en ella por la función biyectiva ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right);}$, es decir, está dotada de la topología euclídea transferida a ella desde ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a través de ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}.}$ Esta topología en ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ es igual a la topología subespacial inducida por ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right).}$ Un subconjunto ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$ está abierto (o cerrado) en ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ si y solo si para cada ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ el conjunto ${\displaystyle S\cap \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ es un subconjunto abierto (o cerrado) de ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$ La topología ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ es coherente con la familia de subespacios ${\displaystyle \mathbb {S} :=\left\{\;\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}.}$ Esto convierte a ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ en un espacio LB. En consecuencia, si ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$ y ${\displaystyle v_{\bullet }}$ son una secuencia en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$, entonces ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ en ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ si y solo si existe algún ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ tal que tanto ${\displaystyle v}$ como ${\displaystyle v_{\bullet }}$ estén contenidos en ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ y ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ en ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$

A menudo, para cada ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ se utiliza la inclusión canónica ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}}$ para identificar ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ con su imagen ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty };}$ de forma explícita, los elementos ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$ y ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$ se identifican juntos. Bajo esta identificación, ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ se convierte en un límite directo del sistema directo ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\text{in }}\mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$ donde para cada ${\displaystyle m\leq n,}$ la aplicación ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ es la inclusión canónica definida por ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right),}$ donde hay ${\displaystyle n-m}$ ceros finales.

Existe un espacio LB bornológico cuyo bidual fuerte es no bornológico.^[4]​ Existe un espacio LB que no es cuasi completo.^[4]​

• Espacio DF
• Límite directo
• Topología final
• Espacio F
• Espacio LF

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topological Vector Spaces: The Theory Without Convexity Conditions. Lecture Notes in Mathematics 639. Berlin New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003. 
• Bierstedt, Klaus-Dieter (1988). «An Introduction to Locally Convex Inductive Limits». Functional Analysis and Applications (Singapore-New Jersey-Hong Kong: Universitätsbibliothek): 35-133. Consultado el 20 de septiembre de 2020. 
• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topological Vector Spaces: Chapters 1–5 (Eggleston, H.G.; Madan, S., trad.). Elementos de matemática. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190. 
• Dugundji, James (1966). Topology. Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485. 
• Edwards, Robert E. (1995). Functional Analysis: Theory and Applications. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138. 
• Grothendieck, Alexander (1955). «Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires» [Topological Tensor Products and Nuclear Spaces]. Memoirs of the American Mathematical Society Series (en francés) (Providence: American Mathematical Society) 16. ISBN 978-0-8218-1216-7. MR 0075539. OCLC 1315788. 
• Horváth, John (1966). Topological Vector Spaces and Distributions. Addison-Wesley series in mathematics 1. Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857. 
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342. 
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370. 
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topological Vector Spaces I (Garling, D.J.H., trad.). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 159. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704. 
• Köthe, Gottfried (1979). Topological Vector Spaces II. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 237. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
• Swartz, Charles (1992). An introduction to Functional Analysis. New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067. 
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. 
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.