Espacio de Grothendieck

En matemáticas, un espacio de Grothendieck, que lleva el nombre de Alexander Grothendieck, es un espacio de Banach ${\displaystyle X}$ en el que cada sucesión en su espacio dual ${\displaystyle X^{\prime }}$ que converge en la topología *débil ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ (también conocida como topología de convergencia puntual) también convergerá cuando ${\displaystyle X^{\prime }}$ esté dotado de ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X^{\prime \prime }\right),}$ que es la topología débil inducida sobre ${\displaystyle X^{\prime }}$ por su bidual. Dicho de otra manera, un espacio de Grothendieck es un espacio de Banach para el que una sucesión en su espacio dual converge *débilmente si y solo si converge débilmente.

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio de Banach. Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$ es un espacio de Grothendieck.
2. Para cada espacio de Banach separable ${\displaystyle Y,}$ cada operador lineal acotado de ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ es débilmente compacto, es decir, la imagen de un subconjunto acotado de ${\displaystyle X}$ es un subconjunto débilmente compacto de ${\displaystyle Y.}$
3. para cada espacio de Banach ${\displaystyle Y,}$ generado de forma débilmente compacta, cada operador lineal acotado de ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ es débilmente compacto.
4. Cada función *débil continua en el dual ${\displaystyle X^{\prime }}$ es débilmente integrable de Riemann.

• Cada espacio reflexivo de Banach es un espacio de Grothendieck. Por el contrario, una consecuencia del teorema de Eberlein-Šmulian es que un espacio de Grothendieck separable ${\displaystyle X}$ debe ser reflexivo, ya que la identidad de ${\displaystyle X\to X}$ es débilmente compacta en este caso.
• Los espacios de Grothendieck que no son reflexivos incluyen el espacio ${\displaystyle C(K)}$ de todas las funciones continuas en un espacio compacto stoneano ${\displaystyle K,}$ y el espacio ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ para una medida ${\displaystyle \mu }$ (un espacio compacto stoneano es un espacio compacto de Hausdorff en el que la clausura de cada conjunto abierto está abierta).
• Jean Bourgain demostró que el espacio ${\displaystyle H^{\infty }}$ de funciones holomorfas acotadas en un disco es un espacio de Grothendieck.^[1]​

• Propiedad de Dunford-Pettis

• J. Diestel, Geometría de los espacios de Banach, Temas seleccionados, Springer, 1975.
• J. Diestel, J. J. Uhl: Medidas vectoriales. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, 1977. ISBN 978-0-8218-1515-1.
• Shaw, S.-Y. (2001), «Espacio de Grothendieck», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Khurana, Surjit Singh (1991). «Grothendieck spaces, II». Journal of Mathematical Analysis and Applications (Elsevier BV) 159 (1): 202-207. ISSN 0022-247X. doi:10.1016/0022-247x(91)90230-w.