Función G de Barnes

En matemática, la función G de Barnes G(z) es una función que extiende los superfactoriales a los números complejos. Está relacionada con la función gamma, la función K y la constante de Glaisher–Kinkelin, y fue llamada así en honor al matemático Ernest William Barnes.^[1]​ Puede ser escrita en términos de la función gamma doble.

Formalmente, la función G de Barnes se define mediante el siguiente producto de Weierstrass:

${\displaystyle G(1+z)=(2\pi )^{z/2}\exp \left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}$

donde ${\displaystyle \,\gamma }$ es la constante de Euler–Mascheroni, exp(x) = e^x es la función exponencial, y Π denota multiplicación (productorio).

Como función entera, G es de orden dos, y de tipo infinito. Esto se puede deducir de la expansión asintótica dada a continuación.

La función G de Barnes satisface la ecuación funcional

${\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)}$

con normalización G(1) = 1. Nótese la similidaridad entre la ecuación funcional de la función G de Barnes y la función Gamma de Euler:

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).}$

La ecuación funcional implica que G toma los siguientes valores en argumentos enteros:

${\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\text{si }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{si }}n=1,2,\dots \end{cases}}}$

(en particular, ${\displaystyle \,G(0)=0,G(1)=1}$) y de este modo

${\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}}$

donde ${\displaystyle \,\Gamma (x)}$ denota la función gamma y K denota la función K. La ecuación funcional define únicamente la función G si la condición de convexidad,

${\displaystyle (\forall x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0}$

es añadida.^[2]​ Adicionalmente, la función G de Barnes satisface la fórmula de duplicación,^[3]​

${\displaystyle G(x)G\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}G(x+1)=e^{-{\frac {1}{4}}}A^{3}2^{2x^{2}-3x+{\frac {11}{12}}}\pi ^{{\frac {1}{2}}-x}G\left(2x\right)}$

${\displaystyle G\left({\tfrac {1}{2}}\right)=2^{\frac {1}{24}}e^{{\frac {3}{2}}\zeta '(-1)}\pi ^{-{\frac {1}{4}}}.}$

• Adamchik, Viktor S. (2003). «Contributions to the Theory of the Barnes function». arXiv:math/0308086.