Función zeta de Lerch

En matemáticas, la función zeta de Lerch, a veces llamada función zeta de Hurwitz-Lerch, es una función especial que generaliza la función zeta de Hurwitz y el polilogaritmo. Ha sido designada en honor a Mathias Lerch [1].

La función zeta de Lerch está expresada mediante

${\displaystyle L(\lambda ,\alpha ,s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi i\lambda n)}{(n+\alpha )^{s}}}.}$

La función trascendente de Lerch, que se encuentra relacionada con la zeta de Lerch es la definida de la siguiente forma:

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}.}$

Las dos se encuentran relacionadas mediante la expresión

${\displaystyle \,\Phi (\exp(2\pi i\lambda ),s,\alpha )=L(\lambda ,\alpha ,s).}$

Una representación integral está dada por la expresión

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

para

${\displaystyle \Re (a)>0\wedge \Re (s)>0\wedge z<1\vee \Re (a)>0\wedge \Re (s)>1\wedge z=1.}$

Una representación tipo integral de contorno es

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{0}^{(+\infty )}{\frac {(-t)^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

para

${\displaystyle \Re (a)>0\wedge \Re (s)<0\wedge z<1}$

donde el contorno no debe abarcar ningún punto tal que ${\displaystyle t=\log(z)+2k\pi i,k\in Z.}$

Una representación integral tipo Hermite es

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,dt+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

para

${\displaystyle \Re (a)>0\wedge |z|<1}$

y

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}(1/z)}{z^{a}}}\Gamma (1-s,a\log(1/z))+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

para

${\displaystyle \Re (a)>0.}$

• Lerch, Mathias (1903), «Démonstration élémentaire de la formule: ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}{\pi x}}}=\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+\nu )^{2}}}}$», L'Enseignement Mathématique 5: 450-453 ..
• Jackson, M. (1950), «On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series ${\displaystyle \scriptstyle _{2}\psi _{2}}$», J. London Math. Soc. 25 (3): 189-196, doi:10.1112/jlms/s1-25.3.189, MR 0036882 ..
• Bateman, H.; Erdélyi, A. (1953), Higher Transcendental Functions, New York: McGraw-Hill ..
• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008), «Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent», The Ramanujan Journal 16 (3): 247-270, doi:10.1007/s11139-007-9102-0, arΧiv:math.NT/0506319, MR 2429900 .. Includes various basic identities in the introduction.
• Laurinčikas, Antanas; Garunkštis, Ramūnas (2002), The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, ISBN 9781402010149, MR 1979048 ..

• Aksenov, Sergej V.; Jentschura, Ulrich D. (2002), C and Mathematica Programs for Calculation of Lerch's Transcendent ..
• Ramunas Garunkstis, Home Page (2005) (Provides numerous references and preprints.)
• Ramunas Garunkstis, Approximation of the Lerch Zeta Function (PDF)
• S. Kanemitsu, Y. Tanigawa and H. Tsukada, A generalization of Bochner's formula (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última)., (undated, 2005 or earlier)