Homomorfismo topológico

En análisis funcional, un homomorfismo topológico o simplemente homomorfismo (si el contexto así lo permite) es un concepto análogo al de homomorfismo en general, pero particularizado para la categoría de los espacios vectoriales topológicos (EVTs). Este concepto es de considerable importancia en el análisis funcional, y el teorema de la función abierta da una condición suficiente para que una aplicación lineal continua entre espacios de Fréchet sea un homomorfismo topológico.

Un homomorfismo topológico es una aplicación lineal continua ${\displaystyle u:X\to Y}$ entre espacios vectoriales topológicos (EVTs) de modo que la aplicación inducida ${\displaystyle u:X\to \operatorname {Im} u}$ es abierta cuando ${\displaystyle \operatorname {Im} u:=u(X)}$, (que es la imagen de ${\displaystyle u}$), se le da la topología del subespacio inducida por ${\displaystyle Y}$.^[1]​ Este concepto es de considerable importancia en el análisis funcional y el conocido teorema de la función abierta da una condición suficiente para que una aplicación lineal continua entre espacios de Fréchet sea un homomorfismo topológico.

Un embebido de EVT o un monomorfismo topológico^[2]​ es un homomorfismo topológico inyectivo. De manera equivalente, un embebido de EVT es una aplicación lineal que también es un embebido topológico.

Supóngase que ${\displaystyle u:X\to Y}$ es un aplicación lineal entre EVTs, teniendo además en cuenta que ${\displaystyle u}$ se puede descomponer en la composición de las siguientes aplicaciones lineales canónicas:

${\displaystyle X~{\overset {\pi }{\rightarrow }}~X/\operatorname {ker} u~{\overset {u_{0}}{\rightarrow }}~\operatorname {Im} u~{\overset {\operatorname {In} }{\rightarrow }}~Y}$

donde ${\displaystyle \pi :X\to X/\operatorname {ker} u}$ es la clase de equivalencia canónica y ${\displaystyle \operatorname {In} :\operatorname {Im} u\to Y}$ es la aplicación inclusiva.

Los siguientes enunciados son equivalentes:

1. ${\displaystyle u}$ es un homomorfismo topológico
2. Para cada base del entorno del origen ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ en ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle u\left({\mathcal {U}}\right)}$ es una base del entorno del origen en ${\displaystyle Y}$.^[1]​
3. La aplicación inducida ${\displaystyle u_{0}:X/\operatorname {ker} u\to \operatorname {Im} u}$ es un isomorfismo de EVTs.^[1]​

Si además el rango de ${\displaystyle u}$ es un espacio de Hausdorff de dimensión finita, entonces las proposiciones siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle u}$ es un homomorfismo topológico.
2. ${\displaystyle u}$ es continuo.^[1]​
3. ${\displaystyle u}$ es continuo en el origen.^[1]​
4. ${\displaystyle u^{-1}(0)}$ está cerrado en ${\displaystyle X}$.^[1]​

El teorema de la aplicación abierta, también conocido como teorema de homomorfismo de Banach, proporciona una condición suficiente para que un operador lineal continuo entre EVTs metrizables completos sea un homomorfismo topológico.

Cada operador lineal continuo en un EVT es un homomorfismo topológico.^[1]​

Sea ${\displaystyle X}$ un EVT de dimensión ${\displaystyle 1}$ sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ y sea ${\displaystyle x\in X}$ distinto de cero. Ahora, considérese que ${\displaystyle L:\mathbb {K} \to X}$ se defina por ${\displaystyle L(s):=sx}$. Si ${\displaystyle \mathbb {K} }$ tiene su topología euclídea habitual y si ${\displaystyle X}$ es de Hausdorff, entonces ${\displaystyle L:\mathbb {K} \to X}$ es un isomorfismo de EVT.

• Homomorfismo
• Funciones abiertas y cerradas
• Sobreyección de espacios de Fréchet
• Espacio vectorial topológico

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