En matemáticas, el lema de Itô es una identidad utilizada en cálculo de Itô para encontrar la diferencial de una función temporal dependiente de un proceso estocástico. Es una versión estocástica de la regla de la cadena del cálculo diferencial usual.
El lema es ampliamente utilizado en matemáticas financieras y su aplicación más conocida es para obtener la ecuación de Black-Scholes.
Una demostración formal del lema consiste en tomar el límite de una secuencia de variables aleatorias. Esta aproximación no es presentada aquí pues involucra un gran número de detalles técnicos. En cambio, damos un bosquejo de cómo uno puede obtener el lema de Itô expandiendo una serie de Taylor y aplicando las reglas de cálculo estocástico.
Suponga que
es un proceso de Itô con drift que satisface la ecuación diferencial estocástica
![{\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b71d394810b871e4e64c2194522fe6ef0d940458)
donde
es un movimiento browniano. Si
es una función escalar dos veces diferenciable, su expansión en una serie de Taylor es
![{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,dx^{2}+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e083cb2f0e1f7a87a54863e0aff137b0f5f260)
Sustituyendo
para
y
por
obtenemos
![{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}(\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left(\mu _{t}^{2}\,dt^{2}+2\mu _{t}\sigma _{t}\,dt\,dB_{t}+\sigma _{t}^{2}\,dB_{t}^{2}\right)+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce6daab8204dc2b7f639b91dc6713bab9f89e31)
En el límite
, los términos
y
tienden a cero más rápido que
, que es
. Haciendo los términos
y
cero, reemplazando
por
(por la variación cuadrática del Wiener proceso) y juntando los términos
y
, obtenemos
![{\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f4220f8da271ad4c713a75f575bd2923db24c29)
Ejemplos
Movimiento browniano geométrico
Un proceso
se dice que sigue un movimiento browniano geométrico con volatilidad constante
y drift constante
si satisface la ecuación diferencial estocástica
siendo
un movimiento Browniano. Aplicando el lema de Itô con
obtenemos
![{\displaystyle {\begin{aligned}df(S_{t})&=f^{\prime }(S_{t})\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(S_{t})(dS_{t})^{2}\\&={\frac {1}{S_{t}}}\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}(-S_{t}^{-2})(S_{t}^{2}\sigma ^{2}\,dt)\\&={\frac {1}{S_{t}}}\left(\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\&=\sigma \,dB_{t}+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f37499db88702f26f97c2f0968831303475e526)
esto es
![{\displaystyle d\left(\log(S_{t})\right)=\sigma \,dB_{t}+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969136619266a4008775314b1d2331893505c650)
de lo anterior se sigue que
![{\displaystyle \log(S_{t})=\log(S_{0})+\sigma B_{t}+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba923be0264675b6db11b61abce18f8222906ac)
que es equivalente a
![{\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\sigma B_{t}+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256a36df6f825b7bce605aeb61c04f0fefd76e97)
Fórmula de Black–Scholes
El lema de Itô puede ser utilizado para obtener la ecuación de Black–Scholes para una opción.[1] Suponga que un precio accionario sigue un movimiento browniano geométrico dado por la ecuación diferencial estocástica
, si el valor de la opción al tiempo
es
entonces por el lema de Itô
![{\displaystyle df(t,S_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left(S_{t}\sigma \right)^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1935bfbf2a5ec1bbdb6e21191cec2b45f4967d0)
Véase también
Referencias
- ↑ Malliaris, A. G. (1982). Stochastic Methods in Economics and Finance. New York: North-Holland. pp. 220-223. ISBN 0-444-86201-3.
Bibliografía
- Kiyosi Itô (1944). Integral estocástica. Proc. Imperial Acad. Tokyo 20, 519@–524. Esto es el papel con el Ito Fórmula; On-line
- Kiyosi Itô (1951). En ecuaciones diferenciales estocásticas. Memoirs, Sociedad Matemática americana 4, 1@–51. On-line
- Bernt Øksendal (2000). Ecuaciones Diferenciales estocásticas. Una Introducción con Aplicaciones, 5.ª edición, corrigió 2.ª impresión. Salmer. ISBN 3-540-63720-6. Secciones 4.1 y 4.2.
- Philip E Protter (2005). Integración estocástica y Ecuaciones Diferenciales, 2.ª edición. Salmer. ISBN 3-662-10061-4. Sección 2.7.
Datos: Q1151100