Sea f una función continua evaluada en el cuerpo de los complejos, definida en un contorno semicircular
De radio positivo R sobre el semiplano superior, centrado en el origen. Si la función f es de la forma
con un parámetro positivo a, entonces el lema de Jordan establece la siguiente cota superior para la integral de contorno:
El mismo resultado es aplicable al semiplano inferior (y no al semiplano superior) cuando a < 0
Observaciones
Si f es continuo en el contorno semicircular CR para todo R grande
(*)
entonces por el lema de Jordan
Para el caso a = 0 = 0, véase el lema de valoración.
Comparado al lema de valoración, el límite superior en el lema de Jordan no depende explícitamente de la longitud del contorno de CR.
Aplicación del lema de Jordan
El camino C es la concatenación de los caminos C1 y C2
El lema de Jordan nos ofrece una forma sencilla de calcular la integral a lo largo del eje real de funciones del tipo f(z) = ei a z g(z) que sean holomorfas en el semiplano superior y continuas en el cierre del semiplano superior excepto en un número fínito de singularidades fuera del eje real z1, z2, …, zn. Consideramos el contorno cerrado C el cual es la concatenación de los caminos C1 y C2, como se muestra en la imagen. Por definición:
Dado que en C2 la variable z es real, la segunda integral es real:
El lado izquierdo puede ser calculado usando el teorema de los residuos para obtener, para todo R mayor que el máximo de |z1|, |z2|, …, |zn|,
Dónde Res(f, zk) denota el residuo de f en la singularidad zk. De ahí, si f satisface la condición , entonces tomando el límite donde R tiende a infinito, la integral de contorno sobre C1 se anula por el lema de Jordan, y obtenemos el valor de la integral impropia
Ejemplo
La función
Satisface la condición del lema de Jordan con a = 1 = 1 para todo R > 0 con R ≠ 1. Véase que, para R > 1,
Por ello la condición se cumple. Dado que la única singularidad de f en el semiplano superior está en z = i, obtenemos que la integral impropia sobre todo el eje real cumple que:
Dado que z = i es un polo simple de f y 1 + z2 = (z + i)(z − i) obtenemos que
y por lo tanto:
Este resultado ejemplifica la forma en la que algunas integrales complicadas de computar por otros métodos son fácilmente evaluadas con la ayuda del análisis complejo.
Usando y la simetría sin θ = sin(π – θ) obtenemos que
Dado que la gráfica de sin θ es cóncava en el intervalo θ ∈ [0, π ⁄ 2], la gráfica de sin θ se encuentra por encima de la línea que conecta sus puntos inicial y final, por lo tanto:
para todo θ ∈ [0, π ⁄ 2], lo que implica que
Referencias
Brown, James W.; Churchill, Ruel V. (2004). Complex Variables and Applications (7th edición). New York: McGraw Hill. pp. 262–265. ISBN 0-07-287252-7.