El método de aproximaciones sucesivas de Picard (por Charles Émile Picard, matemático francés que lo desarrolló) es un método iterativo para obtener una solución a una ecuación diferencial.
Para un problema de Cauchy con la ecuación diferencial
y condición de contorno
donde se puede asegurar la existencia y unicidad de solución para un dominio
es posible construir una solución de forma iterativa según la expresión
|
Donde
se puede elegir arbitrariamente. Lo habitual es elegir
.
La convergencia de esta serie de funciones es demostrable en el intervalo
donde
con
.
El error del paso enésimo es acotable mediante la desigualdad
![{\displaystyle |y(x)-y_{n}(x)|\leq {\frac {MN^{n-1}}{n!}}h^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c165d2daaecf058bea250e99c936928dd0e7bbaf)
donde
. Con ello es posible programar el algoritmo para que itere hasta una resolución dada.
Ejemplo
Consideramos el problema de Cauchy
En este caso
. Ahora se construirá una solución de forma iterativa según la expresión dada anteriormente.
Definimos
y las iteraciones sucesivas son:
,
,
,
y, de forma general, podemos expresar
de la siguiente forma:
.
Se puede observar que las aproximaciones son las sumas parciales del desarrollo en serie de potencias de
, que es la solución al problema de Cauchy anterior.
Referencias
- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. M.L.Krasnov, A.I.Kiseliov, G.I.Makárenko. Editorial URSS. ISBN 5-354-01099-3
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