Oscilador de van der Pol
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/VanDerPolOscillator.png/220px-VanDerPolOscillator.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/VanderPol-lc.svg/220px-VanderPol-lc.svg.png)
En sistemas dinámicos, el oscilador de van der Pol es un oscilador con amortiguamiento no lineal. Su evolución temporal obedece a una ecuación diferencial de segundo orden:
en la que x es la posición, función del tiempo t, y μ es un parámetro escalar que gobierna la no linealidad y el amortiguamiento.
Historia
El oscilador de van der Pol fue descrito por el ingeniero y físico Balthasar van der Pol mientras trabajaba en Philips.[1] Van der Pol encontró oscilaciones estables, que llamó oscilaciones de relajación,[2] conocidas en la actualidad como ciclos límite, en circuitos que usaban válvulas de vacío. Cuando esos circuitos se hacen funcionar cerca del ciclo límite entran en acoplamiento y la señal entra en fase con la corriente. Van der Pol y su colega, van der Mark, informaron en el número de septiembre de 1927 de Nature[3] que para determinadas frecuencias aparecía un ruido irregular, siempre cerca de las frecuencias de acoplamiento. Fue uno de los primeros descubrimientos experimentales de la Teoría del caos.[4]
La ecuación de van der Pol tiene una larga historia en física y biología. Por ejemplo, en biología, Fitzhugh[5] y Nagumo[6] aplicaron la ecuación a un campo bidimensional en el modelo de FitzHugh-Nagumo para describir el potencial de acción de las neuronas. También se ha usado en sismología para modelar el comportamiento de dos placas en una falla.[7]
Forma bidimensional
El teorema de Liénard prueba que el sistema tiene un ciclo límite. Aplicando la transformación de Liénard , donde el '.' indica derivada, la ecuación se puede escribir en forma bidimensional:[8]
Resultados del oscilador no forzado
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Hay dos regímenes de funcionamiento interesantes para el oscilador no forzado:[9]
- Cuando μ = 0, no hay amortiguamiento, y la ecuación queda:
- Es la fórmula del oscilador armónico simple sin pérdida de energía.
- Cuando μ > 0, el sistema alcanzará un ciclo límite, en el que se conservará la energía. Cerca del origen x = dx/dt = 0 el sistema es inestable, y lejos del origen hay amortiguamiento.
El oscilador de van der Pol forzado
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Vanderpol_time_mu%3D8.53_A%3D1.2_T%3D10.svg/300px-Vanderpol_time_mu%3D8.53_A%3D1.2_T%3D10.svg.png)
Utilizando una fuente de excitación sinusoidal Asin(ωt) la ecuación diferencial queda:
en la que A es la amplitud de la ecuación de onda y ω su velocidad angular.
Referencias
- ↑ Cartwright, M.L., "Balthazar van der Pol", J. London Math. Soc., 35, 367-376, (1960).
- ↑ Van der Pol, B., "On relaxation-oscillations", The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci., 2(7), 978-992 (1927).
- ↑ Van der Pol, B. and Van der Mark, J., “Frequency demultiplication”, Nature, 120, 363-364, (1927).
- ↑ Kanamaru, T., "Van der Pol oscillator", Scholarpedia, 2(1), 2202, (2007).
- ↑ FitzHugh, R., “Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membranes”, Biophysics J, 1, 445-466, (1961).
- ↑ Nagumo, J., Arimoto, S. and Yoshizawa, S. "An active pulse transmission line simulating nerve axon", Proc. IRE, 50, 2061-2070, (1962).
- ↑ Cartwright, J., Eguiluz, V., Hernandez-Garcia, E. and Piro, O., "Dynamics of elastic excitable media", Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 9, 2197–2202, (1999).
- ↑ Kaplan, D. and Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, 240-244, (1995).
- ↑ Grimshaw, R., Nonlinear ordinary differential equations, CRC Press, 153–163, (1993), ISBN 0-8493-8607-1.
Enlaces externos
- Esta obra contiene una traducción derivada de «Van der Pol Oscillator» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.
- Oscilador de van der Pol oscillator en Scholarpedia
- Oscilador de Van Der Pol Oscillator interactivo Archivado el 14 de febrero de 2017 en Wayback Machine.
- There's No Quiet Without Noise, New York Times
Datos: Q2081515
Multimedia: Van der Pol oscillator / Q2081515