En matemáticas, los polinomios de Fibonacci son una secuencia polinomial que se puede considerar como una generalización de la sucesión de Fibonacci. Los polinomios generados de forma similar al número de Lucas se llaman polinomios de Lucas.
Los polinomios de Lucas usan la misma recurrencia con diferentes valores iniciales:[2]
Los primeros polinomios de Lucas son:
Los números de Fibonacci y Lucas se obtienen al dar valor a los polinomios en x = 1; los números de Pell resultan de asignar un valor a Fn en x = 2. Los grados de Fn son n − 1 y el grado de Ln es n. Las funciones generadoras ordinarias para las secuencias son:[3]
Los polinomios se pueden expresar en términos de la sucesión de Lucas como
Como casos particulares de secuencias de Lucas, los polinomios de Fibonacci satisfacen una serie de identidades.
Primero, pueden ser definidos por los índices negativos por[4]
Otras identidades incluyen:[4]
Las expresiones de forma cerrada, similares a la fórmula de Binet son:[4]
donde
son las soluciones (en t) de
Una relación entre los polinomios de Fibonacci y los polinomios de base estándar viene dada por
Por ejemplo,[5]
Interpretación combinatoria
Los coeficientes de los polinomios de Fibonacci se pueden leer en el triángulo de Pascal siguiendo las diagonales "superficiales" (que se muestran en rojo). Las sumas de los coeficientes son los números de Fibonacci.
Si F (n, k) es el coeficiente de xk en Fn(x), entonces
entonces F(n, k) es el número de maneras en que un rectángulo de n-1 por 1 puede ser recubierto con dominós de 2 por 1 y de 1 por 1, de modo que se usen exactamente k piezas de tamaño 1.[1] Equivalentemente, F (n, k) es el número de formas de escribir n-1 como una suma ordenada que involucra solo los números 1 y 2, de modo que 1 se usa exactamente k veces. Por ejemplo, F(6,3) = 4, porque 5 (igual a n-1) se puede escribir con estas reglas de 4 maneras distintas: 1 + 1 + 1 + 2; 1 + 1 + 2 + 1; 1 + 2 + 1 + 1; 2 + 1 + 1 + 1; como una suma que involucra solo 1 y 2, con el número 1 usado 3 veces. Contando el número de veces que se usan 1 y 2 en tal suma, es evidente que F(n, k) es igual al coeficiente binomial
cuando n y k tienen paridad opuesta. Esto proporciona una forma de leer los coeficientes del triángulo de Pascal como se muestra a la derecha.
↑Weisstein, Eric W. «Fibonacci Polynomial». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld(en inglés). Wolfram Research.
↑ abcSpringer
↑Una prueba de este hecho se da a partir de la página 5 en Algebra Solutions
Bibliografía
Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). «§9.4 Fibonacci and Lucas Polynomial». Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof. Dolciani Mathematical Expositions 27. Mathematical Association of America. p. 141. ISBN 978-0-88385-333-7.
Philippou, Andreas N. (2001), «Fibonacci_polynomials&oldid=14185», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics(en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
Philippou, Andreas N. (2001), «Lucas_polynomials&oldid=17297», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics(en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
Hoggatt, V. E.; Bicknell, Marjorie (1973). «Roots of Fibonacci polynomials.». Fibonacci Quarterly11: 271-274. ISSN 0015-0517. MR 0332645.
Hoggatt, V. E.; Long, Calvin T. (1974). «Divisibility properties of generalized Fibonacci Polynomials». Fibonacci Quarterly12: 113. MR 0352034.
Ricci, Paolo Emilio (1995). «Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials». Rivista di Matematica della Università di Parma. V. Ser. 4: 137-146. MR 1395332.