Producto interior
En matemáticas, el producto interior (también conocido como derivada interior, multiplicación interior, operador de inserción o derivación interna) es una (anti)derivación de grado−1 en el álgebra exterior de formas diferenciales en una variedad diferenciable. El producto interior, nombrado así en oposición al producto exterior, no debe confundirse con un espacio prehilbertiano. El producto interior ιXω a veces se escribe como X ⨼ ω.[1]
Definición
El producto interior se define como la contracción de una forma diferencial con un campo vectorial. Por tanto, si X es un campo vectorial en una variedad M, entonces
es la aplicación que envía una p-forma ω a la (p−1)-forma ιXω definida por la propiedad de que
para cualquier campo vectorial X1, ..., Xp−1.
El producto interior es la única antiderivación de grado −1 en el álgebra exterior, de modo que en uno-formas α
- ,
donde ⟨ , ⟩ es el emparejamiento dual entre α y el vector X. Explícitamente, si β es una forma p, entonces
La relación anterior indica que el producto interior obedece a una regla de Leibniz calificada. Una operación que satisface la linealidad junto con una regla de Leibniz se llama derivación.
Propiedades
Por antisimetría de formas,
y entonces . Esto se puede comparar con la derivada exterior d, que tiene la propiedad de que d ∘ d = 0.
El producto interior relaciona la derivada exterior y la derivada de Lie de formas diferenciales por la fórmula de Cartan (también conocida como identidad de Cartan , fórmula de homotopía de Cartan[2] o fórmula mágica de Cartan):
Esta identidad define una dualidad entre las derivadas exterior e interior. La identidad de Cartan es importante en topología simpléctica y relatividad general: consúltese la aplicación momento.[3] La fórmula de homotopía de Cartan lleva el nombre de Élie Cartan.[4]
El producto interior con respecto al conmutador de dos campos vectoriales , satisface la identidad
Véase también
- Producto de Cap
- Espacio prehilbertiano
- Contracción tensorial
Referencias
Bibliografía
- Theodore Frankel, The Geometry of Physics: An Introduction; Cambridge University Press, 3rd ed. 2011
- Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, 2e, Springer. 2011. doi 10.1007/978-1-4419-7400-6
Datos: Q767667