Progresión geométrica
Una progresión geométrica es una sucesión de números reales llamados términos, en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante denominada «razón» o «factor» de la progresión. Si se denota por al término que ocupa la posición de la sucesión, se puede obtener el valor de cualquier término a partir del primero () y de la razón () mediante la siguiente fórmula llamada término general:
Ejemplos de progresiones geométricas
- La progresión 5, 15, 45, 135, 405,...' es una progresión geométrica con razón
- Las progresiones 1, 2, 4, 8, 16,... y 5, 10, 20, 40,... son geométricas con razón .
- La progresión -3, 6, -12, 24, ... tiene razón . Esta progresión es también una sucesión alternada.
- Otros ejemplos son: la paradoja de Aquiles y la tortuga, el problema del trigo y del tablero de ajedrez y la cantidad de movimientos de los anillos en la torres de Hanói.[1]
Definición recursiva
Se llama progresión geométrica una sucesión numérica () definida por las condiciones
llamada ecuación recursiva de orden 1[2] ( ), ( es la razón de la progresión geométrica)[3]
Monotonía
Una progresión geométrica es monótona creciente cuando cada término es mayor o igual que el anterior (), monótona decreciente cuando cada término es menor o igual que el anterior (), constante cuando todos los términos son iguales () y alternada cuando cada término tiene signo distinto que el anterior (ocurre cuando ).[4]
Monotonía en función del primer término, , y de la razón, :[5]
creciente | ||
decreciente | ||
decreciente | ||
creciente | ||
constante | ||
alternada |
Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica
Se denota por a la suma de los primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:
Se puede calcular esta suma a partir del primer término y de la razón mediante la fórmula
|
Sea Se multiplican ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión . puesto que Si se procede a restar de esta igualdad la primera: ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente. Despejando : De esta manera se obtiene la suma de los términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión como: que expresa la suma de términos consecutivos de una progresión geométrica en función del primer término y de la razón de la progresión. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Geometric_progression_convergence_diagram.svg/350px-Geometric_progression_convergence_diagram.svg.png)
Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos elementos arbitrarios y (ambos incluidos):
Suma de infinitos términos de una progresión geométrica
Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad , la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si , tiende hacia 0, de modo que simplemente se los puede simplificar y la razón que da como único término :
Finalmente, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad es:
- ,
Caso notable
Un ejemplo de progresión geométrica aparece en el caso de una de las paradojas de Zenón: el reto de Aquiles y de la tortuga.
Producto de los primeros n términos de una progresión geométrica
El producto de los primeros términos de una progresión geométrica se puede obtener mediante la fórmula
- (si ).
Dado que los logaritmos de los términos de una progresión geométrica de razón (si ), están en progresión aritmética de diferencia , se tiene:
- ,
y tomando antilogaritmos se obtiene la fórmula.
Véase también
Referencias
- ↑ Matemáticas recreativas de Perelman
- ↑ Markushévich: Sucesiones recurrentes
- ↑ Vodney y otros: Fórmulas matemáticas fundamentales Euro-Omega, Madrid -Moscú /1995
- ↑ Sapiña, R. «Problemas resueltos de progresiones geométricas». Problemas y ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 15 de mayo de 2020.
- ↑ Llopis, José L. «Sucesiones o progresiones geométricas». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 15 de mayo de 2020.
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Progresión geométrica». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Sum of Geometric Progression Calculator
Datos: Q173523