Prueba M de Weierstrass

Prueba M de Weierstrass

Sea ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ una sucesión de funciones de variable real o compleja definidas en un conjunto ${\displaystyle A}$.

Si para cada ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ existe un ${\displaystyle M_{n}\geq 0}$ tal que ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}\,\forall x\in A}$ y la serie ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}M_{n}}$ converge, entonces la serie ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}f_{n}}$ converge uniformemente en ${\displaystyle A}$.

${\displaystyle x\in A}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}|f_{n}(x)|}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}f_{n}(x)}$

${\displaystyle x\in A}$

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }f_{n}(x)\,\forall x\in A}$

Recordemos que para probar que la serie ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}f_{n}}$ converge uniformemente a ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle A}$ tenemos que probar que la sucesión de sumas parciales ${\displaystyle \{S_{n}\}=\{\sum _{i=1}^{n}f_{i}\}}$ (que en este caso es una sucesión de funciones) converge uniformemente a ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle A}$. Para esto podemos ver que la sucesión ${\displaystyle \rho _{n}=\sup\{|F(x)-S_{n}(x)|:x\in A\}}$ converge a ${\displaystyle 0}$.

Para cada ${\displaystyle x\in A}$, tenemos:

${\displaystyle \left|F(x)-S_{m}(x)\right|=\left|F(x)-\left(\sum _{i=1}^{m}f_{i}(x)\right)\right|=\left|\sum _{n=m+1}^{+\infty }f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=m+1}^{+\infty }|f_{n}(x)|\leq \sum _{n=m+1}^{+\infty }M_{n}}$

Por tanto, ${\displaystyle \rho _{n}=\sup\{|F(x)-S_{n}(x):x\in A\}\leq \sum _{n=m+1}^{+\infty }M_{n}\rightarrow 0}$.

Por tanto, ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}f_{n}}$ converge uniformemente a ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle A}$.