Sustitución de Euler

La sustitución de Euler es un método para evaluar integrales de la forma

${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\,dx,}$

donde ${\displaystyle R}$ es una función racional de ${\displaystyle x}$ y de ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$. En tales casos, el integrando se puede cambiar a una función racional usando las sustituciones de Euler.^[1]​

La primera sustitución de Euler se utiliza cuando ${\displaystyle a>0}$. Se sustituye

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t}$

y se resuelve la expresión resultante para ${\displaystyle x}$. Se tiene que

${\displaystyle x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}}$

y el término ${\displaystyle dx}$ se puede expresar racionalmente en ${\displaystyle t}$.

En esta sustitución, se puede elegir el signo positivo o el signo negativo.

Si ${\displaystyle c>0}$, se toma

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}.}$

Se resuelve para ${\displaystyle x}$ de manera similar al caso anterior y entonces

${\displaystyle x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}.}$

Nuevamente, se puede elegir el signo positivo o negativo.

Si el polinomio ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ tiene raíces reales ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$, se puede elegir

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t}$.

Esto produce

${\displaystyle x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},}$

y como en los casos anteriores, se puede expresar el integrando entero racionalmente en ${\displaystyle t}$.

En la integral

${\displaystyle \int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}}$

se puede usar la primera sustitución y establecer ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t}$, así

${\displaystyle x={\frac {t^{2}-c}{2t}}\quad \quad \ dx={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,\ dt}$

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}}+t={\frac {t^{2}+c}{2t}}}$

En consecuencia, se obtiene:

${\displaystyle \int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\ dt=\int \!{\frac {\ dt}{t}}=\ln |t|+C=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+c}}|+C}$

Con ${\displaystyle c=\pm 1}$ se obtienen las fórmulas

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&={\mbox{arsinh}}(x)+C\\[6pt]\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&={\mbox{arcosh}}(x)+C\qquad (x>1)\end{aligned}}}$

Para encontrar el valor de

${\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}dx,}$

se determina ${\displaystyle t}$ usando la primera sustitución de Euler, ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}$. Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación se obtiene ${\displaystyle x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}}$, a partir de lo que los términos en ${\displaystyle x^{2}}$ se cancelan. Resolviendo la ecuación, se obtiene ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.}$

A partir de ahí, resulta que los diferenciales ${\displaystyle dx}$ y ${\displaystyle dt}$ están relacionados por

${\displaystyle dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}&=\int {\frac {\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}{({\frac {t^{2}+4}{4-2t}})({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}})}}dt\\[6pt]&=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{2}}\right)+C&&t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x\\[6pt]&=\tan ^{-1}\left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C\end{aligned}}}$

En la integral

${\displaystyle \int \!{\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}},}$

se puede usar la segunda sustitución y configurar ${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}}$. Así

${\displaystyle x={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}\qquad dx={\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}dt,}$

y

${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}={\frac {1-2{\sqrt {2t}}}{t^{2}+1}}t+{\sqrt {2}}={\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}$

En consecuencia, se obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}{{\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}{\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}}\;dt\\&=\int \!{\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}t-1{\Biggl |}+C\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}{\frac {{\sqrt {-x^{2}+x+2}}-{\sqrt {2}}}{x}}-1{\Biggl |}+C\end{aligned}}}$

Para evaluar

${\displaystyle \int \!{\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx,}$

se puede usar la tercera sustitución y configurar ${\displaystyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}$. Así

${\displaystyle x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\qquad \ dx={\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}\,\ dt,}$

y

${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+3x-2}}=(x-2)t={\frac {t}{-t^{2}-1.}}}$

A continuación,

${\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx=\int {\frac {({\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}})^{2}{\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}}{\frac {t}{-t^{2}-1}}}\ dt=\int {\frac {2(-2t^{2}-1)^{2}}{(-t^{2}-1)^{3}}}\ dt.}$

Como se puede ver, esta es una función racional que se puede resolver usando fracciones parciales.

Las sustituciones de Euler se pueden generalizar permitiendo el uso de números imaginarios. Por ejemplo, en la integral ${\displaystyle \textstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {-x^{2}+c}}}}$, se puede usar la sustitución ${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}$. Las extensiones a los números complejos permiten usar todo tipo de sustituciones de Euler independientemente de los coeficientes de la expresión cuadrática.

Las sustituciones de Euler se pueden generalizar a una clase más amplia de funciones. Considérense las integrales de la forma

${\displaystyle \int R_{1}{\Big (}x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}\,\log {\Big (}R_{2}{\Big (}x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}{\Big )}\,dx,}$

donde ${\displaystyle R_{1}}$ y ${\displaystyle R_{2}}$ son funciones racionales de ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$. Esta integral se puede transformar mediante la sustitución ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}$ en otra integral

${\displaystyle \int {\tilde {R}}_{1}(t)\log {\big (}{\tilde {R}}_{2}(t){\big )}\,dt,}$

donde ${\displaystyle {\tilde {R}}_{1}(t)}$ y ${\displaystyle {\tilde {R}}_{2}(t)}$ ahora son simplemente funciones racionales de ${\displaystyle t}$. En principio, utilizando la factorización y la descomposición en fracciones simples se puede dividir la integral en términos simples, que se pueden integrar analíticamente mediante el uso de la función dilogaritmo.^[2]​

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