Abel-Planaren formula

Matematikan, Abel-Planaren formula Abelek (1823) eta Planak (1820) formula bereizia da, eta zenbait integralen arabera serie baten emaitza adierazten du. Zehazki:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx+{\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(iy)-f(-iy)}{e^{2\pi y}-1}}\,dy.}$

Formula hori baliagarria da plano konplexuko eskualdean holomorfoak diren eta eskualde horretan hazkunde-baldintza egokia betetzen duten funtzioetarako.${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle {\text{Re}}(z)\geq 0}$ Adibidez, nahikoa da onartzea eskualde horretan konstante baterako mugatuta dagoela, nahiz eta formulak balio izaten jarraitzen duen kota ez hain zorrotzetarako.${\displaystyle |f(z)|}$${\displaystyle C/|z|^{1+\epsilon }}$${\displaystyle C>0}$ .^[1] Adibidez, honela adieraz daiteke Hurwitzen zeta funtzioarekiko:

${\displaystyle \zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}={\frac {\alpha ^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2\alpha ^{s}}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan \left({\frac {y}{\alpha }}\right)\right)}{(y^{2}+\alpha ^{2})^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dy}{e^{2\pi y}-1}},}$

formula baliagarria.${\displaystyle \forall s\in \mathbb {C} }$ Kasu partikularrean, Riemann-en zeta funtzioa dugu, eta honela idatz daiteke:${\displaystyle \alpha =1}$

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan \left(y\right)\right)}{(y^{2}+1)^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dy}{e^{2\pi y}-1}},}$

formula horrek ere balio du ${\displaystyle \forall s\in \mathbb {C} }$ bada. Abelek, halaber, formula hau garatu zuen serie txandakatuetarako:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(iy)-f(-iy)}{2\sinh(\pi y)}}\,dy.}$

1. ↑ Olver, Frank W. J.. (1997). Asymptotics and special functions. A.K. Peters ISBN 1-56881-069-5. PMC 36170758. (Noiz kontsultatua: 2021-12-05).

• Datuak: Q4666730