Eraztun (matematika)

Aljebra abstraktuan ${\displaystyle (A,+,\cdot )}$ eraztuna da ${\displaystyle A}$multzorako ${\displaystyle +}$(gehiketa) eragiketak elkartze eta trukatze propietatea eta elementu alderantzizko eta neutroaren existentzia betetzen dituen, eta ${\displaystyle \cdot }$(biderketa edo produktua) elkartze propietatea eta banatze propietateak betetzen dituen egitura aljebraikoa.

${\displaystyle (A,+,\cdot )}$Eraztuna da baldin:

• ${\displaystyle +}$eragiketa ${\displaystyle A}$-ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: ${\displaystyle \forall a,b,c\in A:(a+b)+c=a+(b+c)}$
• ${\displaystyle +}$Propietate trukakorra betetzen du, hau da: ${\displaystyle \forall a,b\in A:a+b=b+a}$
• Existitzen da ${\displaystyle 0_{A}\in A}$non ${\displaystyle \forall a\in A:a+0_{A}=a}$. ${\displaystyle 0_{A}}$${\displaystyle +}$eragiketarekiko elementu neutroa moduan denotatuko dugu.
• ${\displaystyle A}$-ko edozein elementurako existitzen da elementu alderantzizkoa (simetrikoa), hau da: ${\displaystyle \forall a\in A,\exists a'\in A:a+a'=0_{A}}$
• ${\displaystyle \cdot }$eragiketa ${\displaystyle A}$-ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: ${\displaystyle \forall a,b,c\in A:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
• ${\displaystyle \cdot }$eragiketa banatze propietatea betetzen du, hau da: ${\displaystyle \forall a,b,c\in A:a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$

Eraztunak definitzeko era sinpleagoa existitzen da:

${\displaystyle (A,+,\cdot )}$Eraztuna da baldin:

• ${\displaystyle (A,+)}$ talde abeldarra da.
• ${\displaystyle \cdot }$eragiketa ${\displaystyle A}$-ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: ${\displaystyle \forall a,b,c\in A:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
• ${\displaystyle \cdot }$eragiketa banatze propietatea betetzen du, hau da: ${\displaystyle \forall a,b,c\in A:a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}$Eraztuna da, gehiketa eta biderketarekin:

${\displaystyle (i)}$${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ Talde abeldarra da.

${\displaystyle (ii)}$Biderketa propietate elkarkorra betetzen du.

${\displaystyle (iii)}$Biderketa propietate banakorra betetzen du.

Beraz ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}$eraztuna da.

${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,\cdot )}$ez da eraztuna ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ez delako talde abeldarra.

Eraztunak: ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot ),(\mathbb {Q} ,+,\cdot ),(\mathbb {R} ,+,\cdot ),(\mathbb {C} ,+,\cdot )}$

Eraztun mota berezi bat existitzen da, eraztun tribiala deiturikoa, non multzoaren elementu bakarra elementu neutroa den (elementu bakarreko multzoa):

${\displaystyle (\{0\},+,\cdot )}$Eraztun bat da, ${\displaystyle 0}$elementu bakarra duen multzoarekin.

• ${\displaystyle \forall a,b,c\in \{0\},a=b=c=0:(0+0)+0=0+(0+0)}$gehiketak elkartze propietatea betetzen du.
• ${\displaystyle \forall a,b\in \{0\},a=b=0:0+0=0+0}$gehiketak trukatze propietatea betetzen du.
• Elementu neutroa existitzen da, ${\displaystyle 0}$non ${\displaystyle \forall a\in \{0\},a=0:0+0=0}$
• ${\displaystyle 0}$elementuaren alderantzizkoa ${\displaystyle 0}$bera da.
• ${\displaystyle \forall a,b,c\in A,a=b=c=0:(0\cdot 0)\cdot 0=0\cdot (0\cdot 0)}$biderketak elkartze propietatea betetzen du.
• ${\displaystyle \forall a,b,c\in A,a=b=c=0:(0+0)\cdot 0=0\cdot 0+0\cdot 0}$biderketak banatze propietatea betetzen du.

Beraz${\displaystyle (\{0\},+,\cdot )}$eraztuna da, gainera tribiala elementu bakarreko multzoa eratzen duelako.

• Datuak: Q161172