Multzo lausoren eragiketak multzo lausoekin egindako eragiketak dira. Eragiketa hauek multzo arrunt edo zurrunen eragiketen orokortzeak dira,
multzo zurrun unibertsalaren
potentzia-multzoaren (
multzoaren azpimultzo zurrun guztiez osatutako multzoaren) barruan ordez,
multzoaren azpimultzo lauso guztiez osatutako multzoaren barnean definituak.
Beraz
erako funtzio bidez zehaztutakoak,
dela.
Hemen gutxi batzuk bakarrik aurkeztuko badira ere, era askotako orokortzeak daude. Gehien erabilitakoa multzo lausoren eragiketa estandarrak izenaz deiturikoa da eta bera aurkezten da lehenengoz hemen; gehien erabiltzen dena izateaz gain, orokortze guztien artean berak bakarrik betetzen dituelako atzerago jarritako axioma guztiak.
Oinarrizko hiru eragiketa daude: osagarri lausoak, ebaketa lausoak eta bilketa lausoak.
OHARRA: Multzo lausoen multzokidetza-mailen multzoa orokorrean edozein sareta izan ahal bada ere, artikulu honetan multzokideza-mailen multzoa
dutenen multzo lausoen eragikeak bakarrik aztertzen dira.
Multzo lausoren eragiketa estandarrak
multzo unibertsalaren
azpimultzo lausoaren multzokidetza-funtzioa bada,
multzoaren edozein elementu
-k
multzo lausoan duen multzokidetza-maila da eta adierazten du
elementua zein punturaino den
multzo lausoaren elementua.
betetzen duten
eta
multzo lausoen oinarrizko eragiketa estandarrak honela definitzen dira[1]
- Osagarri estandarra
eta
eta ![{\displaystyle \mu _{\bar {A}}(x)>0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51a0bffb23ca64f2aba5680e85261b1d2aaf240)
- Ebakidura estandarra
eta
eta ![{\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)>0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41abc66748f0998db8aec9699e3bf496a20e087a)
- Bildura Estandarra
eta
eta ![{\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)>0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936d712af973e389c5c8861d3db8f6f33073accd)
Osagarri lausoak
multzo unibertsalaren
azpimultzo lausoaren
multzoarekiko multzo osagarria
edo
idazten da, eta atzerago agertzen den
funtzioaren antzeko funtzio bidez definitzen da. Multzo zurrunetan
da baina multzo lausotan ez.
![{\displaystyle o:[0,1]\rightarrow [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/031b1ae01c91f02134472215c170493cee8a28ad)
![{\displaystyle \mu _{oA}(x)=\mu _{\bar {A}}(x)=o(\mu _{A}(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7e670988297fe787619308a3b43a193f70db2f)
eta ![{\displaystyle o(\mu _{A}(x))>0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfdc9e96848bc4a42ffb2ab8b2d641d7c41b7500)
Osagarri lausoentzako axiomak
Hemendik aurrera, idazkera erraztearren,
elementuaren
eta
multzokidetza-mailak
eta
multzo lausoetan
eta
idatziko dira, argi dagoenean zer diren.
Goiko
funtzioak osagarri lausoak defini ditzan hurrengo bi axiomak bete behar ditu:
o1 axioma, Mugalde-baldintza multzo zurrunen osagarriekin bateragarria izateko.
eta ![{\displaystyle o(1)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9444727f8789c91871f5e316ce8e6df2ee981283)
o2 axioma, Monotonotasuna ziurtatzekoa.
guztientzat,
bada, orduan ![{\displaystyle o(a)\geq o(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba9aba631d5ffab3a6b3f63a8e1e74544741fdf)
Edozein osagarri lausok (multzo lauso baten osagarriak) bete behar ditu lehenengo bi axioma hauek; multzo zurrunekin erabiliz gero multzo zurrunen osagarriak lortzeko eta intuizioak elementu baten multzokide-maila multzo batean handituz gero, haren multzo osagarrian txikitu edo, gutxienez, berdin geratu behar dela esaten digulako.
Badaude funtzio osagarrientzat desiragarriak diren beste ezaugarri batzuk, eskatuz gero osagarrien kopurua murrizten dutenak; desiragarrienen artean askotan eskatzen diren hurrengo biak daude.
o3 axioma, Jarraitutasuna ziurtatzekoa.
funtzio jarraitua da.
o4 axioma, Inboluzioa ziurtatzekoa.
inbolutiboa da eta, beraz, edozein
rentzat
da.
Proposatutako osagarri batzuk
Osagarri estandarrez gain hurrengo osagarriak ere, proposatu dira:
Sugeno motakoak:
![{\displaystyle o(a)=o_{\lambda }(a)=(1-a)/(1+\lambda a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a4a8caf3bb50ccf113775d7ebaf10a87fe94b7)
parametroaren ibiltartea
delarik.
denean Sugenoren osagarriak eta osagarria estandarrak berdinak dira.
Yager motakoak:
![{\displaystyle o(a)=o_{w}(a)=(1-a^{w})^{1/w}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb12f5207fdc8b9ab088c6f09988f295b3873404)
parametroaren ibiltartea
izanik.
denean Yagerren osagarriak eta osagarria estandarrak berdinak dira.
Ebakidura lausoak
Artikulu nagusia: «T-norma»
eta
bi multzo lausoen ebakidura normalean hurrengo paragrafoetan deskribatutako funtzioaren antzeko funtzioz definitzen da.
.
guztientzat
eta ![{\displaystyle e(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))>0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe49939d1c9be80db05cccd60f34a67549d696c2)
Ebakidura lausoentzako axiomak
Goiko
funtzioak ebakidura lauso bat defini dezan hurrengo lau axiomak bete behar ditu:
e1 axioma, Mugalde-baldintza, multzo zurrunen ebaketarekin bateragarria izateko.
![{\displaystyle e(1,1)=1;e(0,1)=e(1,0)=e(0,0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43bf761ff4d2eeef9c79fda76df90e1717c5ea96)
e2 axioma, Monotonotasuna ziurtatzrkoa.
eta
badira, orduan ![{\displaystyle e(a,c)\leq e(b,d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec0dcc7e287be4b1884f8173e04eb110bdbec69)
e3 axioma, Trukakortasuna ziurtatzekoa
![{\displaystyle e(a,b)=e(b,a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe897a665693e5f92fd42724b608a298bb80641a)
e4 axioma, Elkarkortasuna) ziurtatzekoa.
![{\displaystyle e(a,e(b,d))=e(e(a,b),d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf17495d596f9929bf15f9c09df6cf81cc6579ab)
Lau axioma horiek betetzen dituzten funtzio guztiak mugatuta daude hurrengo ezberdintzekin:
![{\displaystyle e_{min}(a,b)\leq e(a,b)\leq \min(a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae4b20a2a1c753435d9767d8e757ceadfdbc21b4)
- non
eta beste kasu guztietan
diren.
Batzuetan desiragarriak diren beste axioma batzuk ere bete ditzan eskatzen da. Gehien eskatutakoen artean hurrengo biak daude:
e5 axioma, Jarraitutasuna ziurtatzekoa.
funtzio jarraitua da.
e6 axioma, Idenpotentzia ziurtatzekoa-
![{\displaystyle e(a,a)=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5a4cae50d1cd6601b20822afa7494cba5fe0b04)
Ebaketa estandarra da jarraitua eta idenpotentea den ebaketa bakarra; aurreko sei axiomak betetzen dituen ebaketa bakarra.
Proposatutako ebakidura batzuk
Ebakidura estandarraz gain hurrengo ebakidurak ere, proposatu dira:
Yager motakoak:
![{\displaystyle e(a,b)=e_{w}(a,b)=1-\min[1,((1-a)^{w}+(1-b)^{w})^{1/w}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e9e62018f7a37e334f0df703f55f472d819501)
parametroaren ibiltartea
delarik.
denean Yagerren ebakidura eta ebakidura estandarra berdinak dira
delako.[2] .
Schweizer & Sklar motakoak:
![{\displaystyle e(a,b)=e_{p}(a,b)=\max(0,a^{-p}+b^{-p}-1)^{-1/p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/748142ae9e380966064ab4b160ff68ab03132dea)
parametroaren ibiltartea
izanik.
Bildura lausoak
eta
bi multzo lausoen bildura normalean hurrengo paragrafoetan deskribatutako funtzioaren antzeko funtzioz definitzen da.
.
guztientzat eta
eta ![{\displaystyle u(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))>0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a756e88f50abcab8b4a4a189f2292fd40c3d92d)
Bildura lausoentzako axiomak
Goiko
funtzioak bildura lauso bat defini dezan hurrengo lau axiomak bete behar ditu:
u1 axioma, Mugalde-baldintza, multzo zurrunen bilketarekin bateragarria izateko.
![{\displaystyle u(0,0)=0;u(0,1)=u(1,0)=u(1,1)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f4228a5bfcae2843d30dfd631a7b4e7a77d2ec)
u2 axioma, Monotonotasuna ziurtatzekoa.
- b ≤ d implies u(a, b) ≤ u(a, d)
u3 axioma, Trukakortasuna ziurtatzekoa.
![{\displaystyle u(a,b)=u(b,a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1c447ae212785dfe41f7d9491b94121b265af6)
u4 axioma, Elkarkortasuna ziurtatzekoa
![{\displaystyle u(a,u(b,d))=u(u(a,b),d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d9dadc3c604d726d4bbca5ea5254ee3cbebfbb)
Lau axioma horiek betetzen dituzten funtzio guztiak mugatuta daude hurrengo ezberdintzekin:
![{\displaystyle \max(a,b)\leq u(a,b)\leq u_{max}(a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a294cc37f950a5d31606d7aeeefb82f83efddd9d)
- non
eta beste kasu guztietan
diren.
Batzuetan desiragarriak diren beste axioma batzuk ere bete ditzan eskatzen da. Gehien eskatutakoen artean hurrengo biak daude:
u5 axioma, Jarraitutasuna ziurtatzekoa.
funtzio jarraitua da.
u6 axioma, Idenpotenzia ziurtatzekoa.
![{\displaystyle u(a,a)=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e8c1677c336f90f104729f371ed251482e3274)
Bilketa estandarra da jarraitua eta idenpotentea den bilketa bakarra; aurreko sei axiomak betetzen dituen bilketa bakarra.
Proposatutako bildura batzuk
Bildura estandarraz gain hurrengo bildurak ere, proposatu dira:
Yager motakoak:
![{\displaystyle u(a,b)=u_{w}(a,b)=\min[1,(a^{w}+b^{w})^{1/w}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4fe91476422a22ea3a5e68d7af3bb3ef7ec597)
parametroaren ibiltartea
delarik.
denean Yagerren bildura eta bildura estandarra berdinak dira[2]
delako.
Schweizer & Sklar motakoak:
![{\displaystyle u(a,b)=u_{p}(a,b)=1-\max[0,(1-a)^{-p}+(1-b)^{-p}-1]^{1/p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f92a1c2b50d60a4136014ca5f704b768e8a2026)
parametroaren ibiltartea
izanik.
Multzo lausoren elkartze-eragiketak
Multzo lausoren elkartze-eragiketen bidez multzo lauso batzuk elkartzen dira multzo lauso bakarra emanez.
multzo lausoren elkartze-eragiketak
erako funtzioren bidez definitzen dira.
Elkartze-eragiketa orokorren axiomak
h1 axioma, Mugalde-baldintzak.
eta ![{\displaystyle \quad h(1,1,...,1)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e030906a0b273e6c84dc5af9a03f3b8997ce40)
h2 axioma, Monotonotasuna ziurtatzekoa.
- Edozein
eta
bikoterentzat, non
eta
diren,
guztientzat
bada ![{\displaystyle \quad h(a_{i}\mid i\in \mathbb {N} _{n})\geq h(b_{i}\mid i\in \mathbb {N} _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f8c51c8120b6b13060b49e31356011b39caf2e)
Nahiz eta funtsezkoak ez izan hurrengo axiomak betetzea ere, eskatzen zaie askotan elkartze-eragiketei.
h3 axioma, Jarraitutasuna ziurtatzekoa
funtzio jarraitua da.
h4 axioma, Simetrikotasuna ziurtatzekoa.
ren edozein
permutaziorako ![{\displaystyle h(a_{i}\mid i\in \mathbb {N} _{n})=h(a_{p(i)}\mid i\in \mathbb {N} _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/867079c4d8d0fdae937d8b539aa251edc6814db7)
Orain arte ikusi ditugun ebaketak eta bilketak bi eragigaiko elkartze-eragiketak dira baina, bai ebaketak eta bai bilketak elkarkorrak direnez, aise zabaldu ahal dira haien definizioak eragigairen edozein kopururako. Beraz ebaketak eta bilketak haien emaitzak gorago ikusi diren mugen artean dituzten elkartze-eragiketak dira.
Azken lau axioma hauek ez dute muga haiek jartzen eta badira batezbestekoak lortzeko eragiketak deitutako elkartze-eragiketak ebaketek eta bilketek eman ezin dituzten emaitzak ematen dutenak.
Ikusitako hiru elkartze-eragiketa moten emaitzen arteko mugak hurrengoak dira:
EBAKIDURAK
BATEZBESTEKOAK
BILDURAK
Ba dago batezbesteko orokortuak izena ematen zaion batezbestekoak lortzeko eragiketen mota bat ebakiduren eta bilduren arteko tarte osoa hartzen duena eta hurrengo funtzioez osatuta dagoena.
![{\displaystyle h_{\alpha }(a_{1},a_{2},...,a_{n})=\left({\dfrac {a_{1}^{\alpha }+a_{2}^{\alpha }+...+a_{n}^{\alpha }}{n}}\right)^{1/\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773cc38144fbb64b6f562c5b2eda92ac1101da5d)
parametroa
izanik.
1 denean batezbesteko aritmetikoa lortzen da
![{\displaystyle h_{1}(a_{1},a_{2},...,a_{n})={\dfrac {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e813b0a102cfc89a648c38815154e15fdbdc4108)
2 denean batezbesteko koadratikoa lortzen da
![{\displaystyle h_{2}(a_{1},a_{2},...,a_{n})={\sqrt {\dfrac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb11bc5937adc089026171a54e4ab495dc326a83)
-1 denean batezbesteko harmonikoa lortzen da
![{\displaystyle h_{-1}(a_{1},a_{2},...,a_{n})={\dfrac {n}{{\dfrac {1}{a_{1}}}+{\dfrac {1}{a_{2}}}+...+{\dfrac {1}{a_{n}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6bbc86ed8ffb4e86a9b6d60fb5a2199245460e4)
eta
0-ra hurbiltzen denean batezbesteko geometrikoa lortzen da[2]
![{\displaystyle h_{0}(a_{1},a_{2},...,a_{n})=(a_{1}.a_{2}...a_{n})^{1/n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b412934406c057e858f786bede295e0f9229fb7)
Elkartzen diren multzoen garrantzien arteko ezberdintasunak kontuan hartu gura badira
oraindik gehiago orokortu ahal da hurrengo funtzioa erabiliz batezbesteko orokor haztatuak emateko.
![{\displaystyle h_{\alpha }(a_{1},a_{2},...,a_{n};w_{1},w_{2},...,w_{n})=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}a_{i}^{\alpha }\right)^{1/\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/802911d5859483dde0e78936f231a54c762ef1e1)
bertan
pisuek
eta
baldintzak bete behar dituztela.
Erreferentziak
- ↑ Klir, George J.; Bo Yuan. (1995). Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications. Prentice Hall ISBN 978-0131011717..
- ↑ a b c Klir, George J.; Folger, Tina A.. (1988). Fuzzy sets, uncertainty, and information. Prentice-Hall International Editions ISBN 0-13-345638-2..
Kanpoko Erreferentziak
- L.A. Zadeh. Fuzzy sets. Information and Control, 8:338–353, 1965
Ikus, gainera
- Logika lauso
- Multzo lauso
- T-norma
- 2. motako multzo eta sistema lausoak
Kanpo estekak