Serie konbergentea bere gaien batura partzialen segidak limite finitua duen seriea da; kasu horretan, serieak batura finitua du, batura partzialen segidaren limitea hain zuzen[1].
Kontuan hartutako serieak zenbakizkoak (termino erreal edo konplexuekin) edo bektorialak (eratutako espazio bektorialean balioekin) dira. Termino orokorraren serieak
bat egiten du batuketa partzialen segidak bat egiten duenean.
Kasu honetan, seriearen batura batura partzialen segidaren limitea da.
Serie baten konbergentzia edo ez konbergentzia izaera ez da aldatzen seriearen termino-kopuru finitu bat aldatzen bada.
Adibideak
Konbergenteak dira sekuentzien serieak:
- Zenbaki oso bakoitietako elkarrekikoak, zeinuak tartekatuta dituztenak
. Leibnizen serie bezala ezagutzen dira:
- Zenbaki triangeluarren elkarrekikoak:
- Hurrengo faktorialetako elkarrekikoak (n!):
- Ondoz ondoko karratu perfektuen elkarrekikoak (ikus Basileako problema):
- 2ren potentzien elkarrekikoak:
- 2ren berreturen elkarrekikoak, zeinu txandakatuekin:
- Fibonacciren zenbakien elkarrekikoak (ikus Fibonacciren alderantzizkoen konstantea):
- Zeinu txandakatuak dituzten zenbaki naturalen elkarrekikoak
:
Dibergenteak dira sekuentzien serieak:
- Zenbaki naturalen elkarrekikoak, serie harmonikoa bezala ezagutua dena
:
- Zenbaki lehenen elkarrekikoak
:
Konbergentzia absolutua
seriea absolutuki konbergentea dela diogu baldin eta termino orokorraren seriea
konbergentea bada. Kasu honetan
serieak bat egiten du.
Erabateko konbergentzia oso interesgarria da Banachen espazio batean balioak dituzten serieak aztertzeko (horixe da zenbaki-serieen kasua), non nahikoa baita serieak erabateko konbergentzia izatea bat egiten duela frogatzeko. Teknika horri esker, kasu askotan, termino positiboen serieetan soilik egin daiteke azterketa; horretarako, metodo ugari daude.
Gai positiboko serieen konbergentziarako-irizpideak
Konparazio irizpidea: izan bitez
eta
gai positiboko serieak,
izanik. Orduan:
konbergentea bada,
ere konbergentea da.
dibergentea bada,
ere dibergentea da.
Limitearen irizpidea: izan bitez
eta
gai positiboko serieak,
izanik
guztietarako. Izan bedi
.
denean,
konbergentea da baldin eta soilik baldin
konbergentea bada.
denean,
konbergentea bada,
ere konbergentea da.
denean,
dibergentea bada,
ere dibergentea da.
D'Alamberten irizpidea: izan bedi
seriea gai positiboko seriea eta demagun
limitea existitu egiten dela. Orduan:
- l < 1 bada, orduan
konbergentea da.
- l > 1 bada, orduan
dibergentea da.
Raaberen irizpidea: izan bedi
gai positiboko seriea, zeinetarako
den, eta izan bedi
. Orduan:
- l >1 edo l =
bada, orduan
konbergentea da.
- l <1 bada, orduan
dibergentea da.
Cauchyren irizpidea edo erroaren irizpidea: izan bedi
gai positiboko seriea eta demagun
limitea existitzen dela. Orduan:
- l < 1 bada, orduan
konbergentea da.
- l >1 bada, orduan
dibergentea da.
Integralaren irizpidea: Izan bedi f funtzio positiboa eta beherakorra [1, +
) tartean. Izan bedi
,
guztietarako. Orduan
konbergentea da baldin eta soilik baldin
existitzen bada eta finitua bada.
Erreferentziak
- ↑ Elhuyar Zientzia eta Teknologiaren Hiztegi Entziklopedikoa. Serie konbergente. .
Kanpo estekak