Erakkopiste

Topologiassa erakkopisteellä tarkoitetaan sellaista topologisen avaruuden ${\displaystyle X}$ pistettä ${\displaystyle x}$, että jokin pisteen ${\displaystyle x}$ ympäristö ${\displaystyle U}$ ei sisällä muita pisteitä kuin ${\displaystyle x}$:n. ^[1]

Formaalisti: ${\displaystyle x}$ on joukon ${\displaystyle A}$ erakkopiste, jos ${\displaystyle x\in A}$ ja on olemassa ympäristö ${\displaystyle U}$ siten, että ${\displaystyle x\in U}$ ja ${\displaystyle U\cap A=\{x\}}$.^[1]

Sanotaan, että joukko ${\displaystyle A}$, joka sisältyy avaruuteen ${\displaystyle X}$, on diskreetti, jos sen jokainen piste on erakkopiste. Samaten avaruus ${\displaystyle X}$ on diskreetti, jos sen jokainen piste on erakkopiste.

• Jos ${\displaystyle A=\{1\}\cup [2,3]}$, niin alkio ${\displaystyle 1}$ on joukon ${\displaystyle A}$ erakkopiste.

• Joukolla ${\displaystyle A=[0,1[}$ ei ole erakkopisteitä ${\displaystyle \mathbb {R} }$:ssa, koska kaikilla ${\displaystyle x\in A}$ ja kaikilla ${\displaystyle r>0}$ pätee ${\displaystyle (B(x,r)\cap A)\setminus \{x\}\neq \emptyset }$. Edellä ${\displaystyle B(x,r)}$ on niin sanottu kuulaympäristö (ks. ympäristö).

• Väisälä, Jussi: Topologia I. Limes, 2001. ISBN 951-745-192-X.
• Väisälä, Jussi: Topologia II. Limes, 1999. ISBN 951-745-185-7.