Esilyhde ja lyhde

Esilyhde on lyhdeteoriassa lyhteen määrittelemiseksi tehtävän operaation ensimmäinen vaihe.

Olkoon X topologinen avaruus. Tällöin voidaan määritellä X:n esilyhde ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, johon sisältyy:

• Abelin ryhmä ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ jokaiselle avoimelle joukolle ${\displaystyle U\subset F}$.
• Ryhmähomomorfismi (joka on rajoittumakuvaus) ${\displaystyle \rho _{UV}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V)}$ jokaiselle avoimelle joukolle ${\displaystyle V\subseteq U}$,

jolle on voimassa

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\emptyset )=0}$.
• ${\displaystyle \rho _{UU}={\text{Id}}}$.
• Jos ${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$ ovat avoimia, niin ${\displaystyle \rho _{UW}=\rho _{VW}\circ \rho _{UV}}$.

Esilyhdettä sanotaan lyhteeksi, jos sillä on voimassa yksikäsitteisyys ja liimausominaisuudet. Olkoon ${\displaystyle I}$ indeksijoukko:

• (Yksikäsitteisyys) Olkoon ${\displaystyle U\subset X}$ avoin, ${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U),\{U_{i}\}_{i}}$ ${\displaystyle U}$:n avoin peite. Jos ${\displaystyle s|_{U_{i}}=0}$ kaikilla ${\displaystyle i\in I}$, niin ${\displaystyle s=0}$.
• (Liimaus) Merkintätapa kuten yksikäsitteisyydessä. Olkoot ${\displaystyle s_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i}),i\in I}$ sektioita, joille ${\displaystyle s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$. Tällöin on olemassa sektio ${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}$ siten, että ${\displaystyle s|_{U_{i}}=s_{i}}$.

Samoin voidaan määritellä renkaiden lyhde, algebrojen lyhde yli kiinteän kunnan ja niin edelleen.