Hippokrateen puolikuut
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Moendchen_des_hippocrates.svg/250px-Moendchen_des_hippocrates.svg.png)
.
Hippokrateen puolikuut eli Alhazenin puolikuut ovat kuunsirpin muotoiset alueet, jotka jäävät suorakulmaisen kolmion hypotenuusa halkaisijana piirretyn puoliympyrän ulkopuolelle mutta sisältyvät jompikumpi kateetti halkaisijana piirrettyyn puoliympyrään, kun tällaisen kolmion jokainen sivu halkaisijana piirretään ympyrä. Näiden alueiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin suorakulmaisen kolmion pinta-ala.[1]
Tämä voidaan todistaa seuraavasti: Ensinnäkin käänteisestä Thaleen lauseesta seuraa, että hypotenuusa halkaisijana piirretty ympyrä todella kulkee suoran kulman kärjen kautta. Merkitään kateettien pituuksia a:lla ja b:llä, ja hypotenuusan pituutta c:llä. Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on tällöin , ja koska kateettien puolikkaiden pituudet ovat ja , ovat nämä puolikkaat säteinä (eli kateetit halkaisijana) piirrettyjen puoliympyröiden pinta-alat ja . Alue, jonka muodostavat nämä puoliympyrät ja kolmio yhdessä, on siis pinta-alaltaan . Hippokrateen puolikuiden pinta-ala saadaan vähentämällä tästä hypotenuusalle piiretyn puoliympyrän pinta-ala, joka on . Koska Pythagoraan lauseen mukaan , seuraa tästä, että näiden puolikuiden yhteenlaskettu pinta-ala on , siis yhtä suuri kuin kolmion pinta-ala.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/Hipocrat_arcs.svg/250px-Hipocrat_arcs.svg.png)
Siinä erikoistapauksessa, että kyseessä on tasakylkinen suorakulmainen kolmio, molemmat kuunsirpin muotoiset alueet ovat yhtenevät ja niin ollen pinta-alaltaan yhtä suuret. Suoran kulman puolittaja jakaa tällaisen kolmion kahteen keskenään yhtenevään kolmioon, jotka myös ovat tasakylkisiä suorakulmaisia kolmioita: alkuperäisen kolmion kateetit ovat näiden kolmioiden hypotenuusoina ja alkuperäisen kolmion hypotenuusan puolikkaat niiden toisina kateetteina. Tästä seuraa, että tällaisen kolmion hypotenuusalle (oheisessa kuvassa AB) piirretystä ympyrästä se osa, joka jää toinen kateetti (AO) säteenä piirretyn ympyrän ulkopuolelle, on yhtä suuri kuin suorakulmaisen kolmion.
Historia
Hippokrateen puolikuut ovat saaneet nimensä kreikkalaisen matemaatikko Hippokrates Khioslaisen (n. 470–410 eKr.) mukaan, joka todisti edellä esitetyn, niiden pinta-alaa koskevan tuloksen. Todistus liittyi hänen yritykseensä ratkaista kysymys ympyrän neliöimisestä, toisin sanoen siitä, onko harpin ja viivoittimen avulla mahdollista piirtää neliö, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin annetun ympyrän. Tämä Hippokrateen puolikuu oli ensimmäinen kaarevien käyrien rajoittama alue, joka voitiin täten neliöidä. Tulos herätti toivoa siitä, että harpin ja viivoittimen avulla voitaisiin vastaavasti neliöidä myös ympyrä.[2] Siinä ei kuitenkaan onnistuttu, mutta mutta vasta vuonna 1882 Ferdinand von Lindemann osoitti, että tehtävä on mahdoton ratkaista, koska pii (π) on transkendenttinen luku.[3]
Ympyrän pinta-alan lauseketta ei Hippokrateen aikana vielä tunnettu. Myöhemmin Eudoksos todisti kehittämällään ekshaustiomenetelmällä, että ympyrän pinta-ala on suoraan verrannollinen sen säteen neliöön. Eudoksos kuitenkin syntyi vasta muutamia vuosia Hippokrateen kuoeman jälkeen. Hippokrateen teokset eivät ole säilyneet, mutta puolikuut ja niitä koskeva lause mainitaan Eudemoksen teoksessa, jossa mainittua verrannollisuutta käytetään puolikuita koskevan tuloksen todistamiseen. Tästä onkin päätelty, että jo Hippokrateeen on täytynyt kehittää jonkinlainen versio ekshaustiomenetelmästä.[4]
Hippokrateen puolikuut ja niiden pinta-alaa koskevan tuloksen mainitsi myöhemmin eräässä teoksesaan arabialainen matemaatikko Abu al-Hasan ibn al-Haitham (965–1040), joka länsimaissa tunnetaan myös nimellä Alhazen. Hänen mukaansa niitä nimitetäänkin toisinaan myös Alhazenin puolikuiksi..[5]
Lähteet
- ↑ ”Hippokrateen puolikuut”, Iso tietosanakirja, 3. osa (Gottlund–Ihmels), palsta 1327. Otava, 1932.
- ↑ Mikael Mäntykangas: ”Ympyrän neliöintiongelma”, Luvun π likiarvosta, irrationaalisuudesta ja transkendenttisuudesta, s. 11. Tampereen yliopisto, 2014. Teoksen verkkoversio.
- ↑ ”Pi”, Iso tietosanakirja, 3. osa (Mustonen–Pielisjärvi), palsta 1347. Otava, 1935.
- ↑ Hippocrates of Chios MacTutor. Viitattu 9.2.2024.
- ↑ Claudi Alsins, Roger B. Nelson: ”Squarable Lunes”, Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics, s. 139–140. Mathematical Association of America, 2010. ISBN 978-0-88385-384-1. Teoksen verkkoversio.