Funktio, joka ei ole jatkuva yhdessä kohdassa, eli epäjatkuva funktio. Kohtaa, jossa jatkuvuutta ei ole, kutsutaan epäjatkuvuuskohdaksi.
Jatkuvuus on funktioon liittyvä topologinen peruskäsite. Intuitiivisesti funktio on jatkuva, jos sen arvot eivät muutu äkillisesti minkään pisteen ympäristössä. Tällaisen funktion kuvaaja on silloin yhtenäinen eikä katkea missään kohdassa. On kuitenkin tapauksia, jossa funktio on jatkuva vaikka kuvaajan ulkonäkö on poikkeava. Jatkuvuuden tarkempi määrittäminen vaatiikin matemaattisempia käsitteitä. Funktion jatkuvuus voidaan määritellä usealla eri tavalla, riippuen siitä miten yleisellä tasolla funktioita halutaan tarkastella.
Sisällys
1Yhden reaalimuuttujan tapaus
1.1Niin sanottu εδ-määritelmä
1.2Jatkuvuus toispuoleisten raja-arvojen avulla
1.2.1Todistus: derivoituvuudesta seuraa jatkuvuus
1.2.2Todistus εδ-menetelmällä
1.3Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia
1.4Esimerkkejä
2Jatkuvuus metrisissä avaruuksissa
3Jatkuvuus topologisissa avaruuksissa
4Lähteet
4.1Viitteet
5Kirjallisuutta
Yhden reaalimuuttujan tapaus
Niin sanottu εδ-määritelmä
Intuitiivisesti funktion jatkuvuus tietyssä pisteessä tarkoittaa sitä, että on lähellä arvoa aina, kun piste on lähellä pistettä . Tähän intuitioon perustuu nk. jatkuvuuden -määritelmä (kreikk. ''epsilon'' ja ''delta''), joka on seuraava:
Olkoon väli, ja . Funktio on jatkuva pisteessä , jos kaikillaon olemassa siten, että
,
kun ja .[1]
Luku riippuu tapauskohtaisesti joko :sta, :stä, :sta tai kaikista näistä. Luku ei saa riippua funktiosta tai pisteestä, sillä määritelmän ehdon tulee täyttyä kaikilla (siis erityisesti hyvin pienillä :n arvoilla). Käytännössä -määritelmä tarkoittaa sitä, että :n pienuudesta huolimatta jatkuvan funktion kuvaaja jää aina suorien ja väliin pisteen lähellä.[1]
Jatkuvuus toispuoleisten raja-arvojen avulla
Funktio on jatkuva pisteessä , jos ja vain jos sen raja-arvo tässä pisteessä on olemassa ja on yhtä suuri funktion arvon kanssa tässä kohdassa. Jotta raja-arvo olisi olemassa pisteessä , on vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen oltava yhtä suuret tässä pisteessä:
.
Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä, eli siinä ei ole epäjatkuvuuskohtia. Funktion jatkuvuus on välttämätön, mutta ei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle. Toisin sanoen derivoituva funktio on aina jatkuva, mutta jatkuva funktio ei ole aina derivoituva.
Todistus: derivoituvuudesta seuraa jatkuvuus
.
, joten funktio on jatkuva pisteessä a.
Todistus εδ-menetelmällä
Olkoon ja .
Tällöin siten, että , kun .
, kun .
, kun ja kun .
Valitaan .
Siis , kun .
, joten on jatkuva :ssa.
Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia
Jatkuvia funktioita voidaan konstruoida muista jatkuvista funktioista yhteenlaskun, kertolaskun ja tietyissä tapauksissa jakolaskun avulla. Jos on väli, sekä ja jatkuvia funktioita pisteessä , niin:[2]
summafunktio on jatkuva pisteessä
tulofunktio on jatkuva pisteessä
tulofunktio , missä on vakio, on jatkuva pisteessä
rationaalifunktio on jatkuva pisteessä , jos
itseisarvofunktio on jatkuva pisteessä
Esimerkkejä
Vakiofunktio , on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
Polynomifunktio , on jatkuva koko määrittelyjoukossaan riippumatta polynomin asteesta .[3]
Funktio on määritelty, kun . Funktio on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
Funktio on kaikkialla jatkuva, mutta se ei ole derivoituva kohdassa .
Jatkuvuus metrisissä avaruuksissa
Olkoot ja metrisiä avaruuksia. Funktio on jatkuva pisteessä (metriikoiden ja suhteen), jos jokaista positiivilukua kohti on olemassa positiiviluku siten, että aina kun . Muodollisesti ilmaistuna funktio on jatkuva pisteessä , jos
Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa joukon pisteessä. Kun tarkastellaan joukkoja ja topologisina avaruuksina, joissa topologiat ovat metriikoiden ja indusoimia, niin yllä esitetyt määritelmät yhtyvät.
Jatkuvuus topologisissa avaruuksissa
Funktio, missä ja ovat topologisia avaruuksia, on jatkuva pisteessä, jos ja vain jos jokaista pisteen ympäristöä kohti on olemassa pisteen ympäristö siten, että . Funktio on jatkuva funktio, jos se on jatkuva jokaisessa avaruuden pisteessä. Yhtäpitävästi, funktio on jatkuva, jos ja vain jos jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin avaruudessa . [4]
Lähteet
Weisstein, Eric W.: Continuous (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Weisstein, Eric W.: Continuous Function (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Viitteet
↑ abKilpeläinen, Tero: Analyysi 1 (s. 40−41) 2000 / 2002. Jyväskylän yliopisto. Viitattu 21.3.2017.