Kolmen vangin ongelma

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Kolmen vangin ongelma esiintyi vuonna 1959 Martin Gardnerin kolumnissa "Matemaattiset pelit" Scientific American-lehdessä. Kolmen vangin ongelma on matemaattisesti ekvivalentti Monty Hallin ongelmaan autosta ja vuohesta. Tässä artikkelissa käsiteltävässä ongelmassa auto on korvattu vapaudella ja vuohi kuolemantuomiolla.

Kolme vankia, A, B ja C ovat tuomittuja kuolemaan ja asuvat omissa selleissään. Kuvernööri on valinnut heistä sattumanvaraisesti yhden, joka armahdetaan. Vartija tietää kuka vangeista on armahdettu, mutta hän ei saa kertoa sitä. Vanki A anelee vartijaa kertomaan kumpi vangeista B ja C on varmasti tuomittu kuolemaan (kumpaa siis ei ole armahdettu). ”Jos B on armahdettu, kerro minulle C:n nimi. Jos C on armahdettu, kerro minulle B:n nimi. Jos minä (vanki A) olen saanut armahduksen, heitä kolikkoa ja kerro minulle joko B:n tai C:n nimi.”

Vartija kertoo vanki A:lle, että vanki B aiotaan teloittaa. Vanki A on helpottunut, koska hän uskoo selviytymismahdollisuuksiensa nousseen kolmasosan (1/3) mahdollisuudesta puoleen (1/2), kuten mahdollisuus nyt on hänen ja vangin C välillä. Vanki A kertoo salaa vangille C saamansa uutiset. Vanki C helpottuu, koska uskoo, että vangilla A on edelleen 1/3 todennäköisyys saada armahdus ja että hänellä itsellään (vanki C) on puolestaan 2/3 mahdollisuus tulla armahdetuksi. Mikä on oikea vastaus?

Vastaus on, että vanki A ei oikeastaan saanut mitään lisätietoa omasta kohtalostaan. Oletetaan että vangilla A on 1/3 mahdollisuus tulla armahdetuksi, siis yhtä suuri mahdollisuus kuin vangeilla B ja C. Vartija kertoi vangin B olevan toinen teloitettavista joko siksi, että vanki C armahdetaan (mahdollisuus 1/3) tai siksi että vanki A armahdetaan (mahdollisuus 1/3) JA vartijan heittämä kolikko antoi vastaukseksi vangin B (mahdollisuus 1/2). Tällöin mahdollisuus siihen, että vanki B nimettiin vangin A armahduksen takia on vain 1/6.

Sen seurauksena, että vanki A sai tietää vangin B olevan toinen teloitettavista, vangin A mahdollisuus armahdukseen on vain puolet vangin C mahdollisuudesta. Nyt jos oletetaan, että vankia B ei armahdeta, on vangilla A siis edelleen 1/3 mahdollisuus tulla armahdetuksi kun taas vangin C mahdollisuus on 2/3, kaksinkertainen vankiin A nähden.

armahdettu	vartija: "ei B"	vartija: "ei C"	yht.
A	1/6	1/6	1/3
B	0	1/3	1/3
C	1/3	0	1/3

Nimetään tapahtumat A, B ja C siten, että ne vastaavat samalla kirjaimella nimetyn vangin armahdusta.

Tapahtumat A = ”vanki A armahdetaan” B = ”vanki B armahdetaan” C = ”vanki C armahdetaan” b = ”vartija nimeää vangin B joutuvan teloitettavaksi (ei armahdettu)”

Nyt Bayesin teoreemaa käyttäen saadaan, että vangin A mahdollisuus tulla armahdetuksi on:

${\displaystyle P(A|b)={\frac {P(b|A)P(A)}{P(b|A)P(A)+P(b|B)P(B)+P(b|C)P(C)}}=}$

${\displaystyle ={\frac {{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}+0\times {\tfrac {1}{3}}+1\times {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {1}{3}}.}$

Jokaisella vangilla on 1/3 mahdollisuus tulla armahdetuksi. Tieto siitä, että joko vanki B tai vanki C teloitetaan, ei muuta vangin A mahdollisuutta tulla armahdetuksi. Vangilla A on siis 1/3 mahdollisuus tulla armahdetuksi ja vangeilla B ja C on yhteensä 2/3 mahdollisuus tulla armahdetuksi. Oletetaan, että tiedämme vangin B joutuvan teloitetuksi. Nyt vangin A mahdollisuus tulla armahdetuksi pysyy edelleen samana (1/3) ja vangin B mahdollisuus armahdukseen siirtyi vangille C, jolloin vangin C mahdollisuus on 2/3.

• Monty Hallin ongelma
• Vangin dilemma
• Bayesin teoreema

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Three Prisoners problem