Lineaarialgebrassa annetun neliömatriisinliittomatriisi eli adjungoitu matriisi (engl. adjugate of a matrix)[1] on matriisi, joka muodostetaan korvaamalla alkuperäisen matriisin alkiot niiden alideterminanteilla, vaihtamalla niistä joka toinen vastaluvukseen ja ottamalla näin saadusta matriisista transpoosi.[2]
Liittomatriisista käytetään myös nimitystä adjungoitu matriisi[2] (engl. Adjoint of a matrix),[1] joskin samalla termillä voidaan tarkoittaa myös matriisin konjugaattista transpoosia.
Sisällys
1Määritelmä
2Esimerkkejä
2.12 × 2 -matriisin liittomatriisi
2.23 × 3 -matriisin liittomatriisi
3Ominaisuuksia
3.1Käänteismatriisi
3.2Karakteristinen polynomi
3.3Jacobin kaava
4Lähteet
4.1Viitteet
5Kirjallisuutta
Määritelmä
Matriisin A liittomatriisi on sen kofaktorimatriisin C transpoosi:
.
Yksityiskohtaisemmin: olkoon R kommutatiivinen rengas ja An×n -matriisi, jonka alkiot kuuluvat R:ään.
Muodostetaan ensin jokaista matriisin alkiota [aij] kohti alideterminantti, toisin sanoen sen matriisin determinantti, joka saadaan, kun alkuperäisestä matriisista A poistetaan i:s rivi ja j:s sarake. Matrisiissa A olevat luvut korvataan saatujen determinanttien arvoilla. Tämän jälkeen ne saadun matriisin alkiot, joita vastaavien rivin ja sarakkeen järjestysnumeroiden summa on pariton, korvataan vastaluvuillaan. Täten saadaan alkuperäisen matriisin A kofaktorimatriisi. A:n liittomatriisi eli adjungoitu matriisi on sen kofaktorimatriisin transpoosi, ja sille käytetään merkintää adj(A).[2]
Liittomatriisin määritelmästä seuraa, että matriisin A ja sen liittomatriisin matriisitulo on diagonaalinen matriisi, jonka diagonaalilla esiintyy joka rivillä alkuperäisen matriisin determinantin arvo det(A). Kun liittomatriisin adj(A) kaikki alkiot jaetaan tämän determinantin arvolla, saadaan alkuperäisen matriisin Akäänteismatriisi.[2]
Esimerkkejä
2 × 2 -matriisin liittomatriisi
2 × 2 -matriisin
liittomatriisi on
.
Voidaan helposti todeta, että det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A.
3 × 3 -matriisin liittomatriisi
Käsitellään -matriisia
Muodostetaan ensin alideterminantit: , , , , , , Sijoitetaan nämä matriisiin ja korvataan niistä joka toinen vastaluvullaan, jolloin saadaan A:n kofaktorimatriisi:
Kun tämä transponoidaan, saadaan alkuperäisen matriisin A liittomatriisiksi:
missä
.
Kaksirivisen determinantin arvo lasketaan seuraavasti:
Ominaisuuksia
Liittomatriisilla on seuraavat ominaisuudet:
kaikille n×n-matriiseille A ja B. Toisella rivillä oleva yhtälö seuraa yhtälöistä adj(B)adj(A) = det(B)B-1 det(A)A-1 = det(AB)(AB)-1. Korvaamalla toisella rivillä B matriisilla Am - 1 ja suorittamalla tämä rekursiivisesti saadaan kaikille kokonaisluville m:
Liittomatriisin transpoosi on sama kuin transpoosin liittomatriisi:
Lisäksi,
ja jos det(A) = 1, on det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A.
Käänteismatriisi
Laplacen kaavasta n×n -matriisin A determinantille seuraa:
Tästä kaavasta seuraa yksi matriisilaskennan tärkeimmistä tuloksista: Kommutatiivisen renkaan R matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos determinantilla det(A) on käänteisalkio renkaassa R. Jos matriisin alkiot ovat esimerkiksi reaali- tai kompleksilukuja, neliömatriisilla on käänteismatriisi, jos ja vain jos sen determinantti ei ole nolla.
Jos p(t) = det(A − tI) on A:n karakteristinen polynomi ja määritellään lisäksi polynomi q(t) = (p(0) − p(t))/t, saadaan:
missä luvut ovat p(t):n kertoimet,
Jacobin kaava
Liittomatriisi esiintyy myös Jacobin kaavassa determinantin derivaatalle:
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista. Alkuperäinen artikkeli: en:Adjugate matrix
Lähteet
Gilbert Strang: ”Section 4.4: Applications of determinants”, Linear Algebra and its Applications, s. 231–232. Harcourt Brace Jovanovich, 1988. ISBN 0-15-551005-3.
Viitteet
↑ abDaniel N. Lapedes: Dictionary of Physics and Mathematics, s. 18–19. McGraw & Hill, 1980. ISBN 0-07-045480-9.
↑ abcdEsko Valtanen: ”Matriisilaskenta”, Matematiikan ja fysiikan käsikirja, s. 124–125. Jyväskylä: Genesis-Kirjat Oy, 2007. ISBN 978-952-9767-28-2.