Luomis- ja hävitysoperaattorit

Hävitysoperaattori eli annihilaatio-operaattori on fysiikassa sellainen operaattori, joka vähentää tietystä kvanttimekaanisesta tilasta hiukkasen. Sen sijaan hävitysoperaattorin Hermiten konjugaatti eli luomisoperaattori lisää tiettyyn tilaan hiukkasen.^[1]

Kvanttimekaniikassa hävitys- ja luomisoperaattoreita käytetään tikapuuoperaattoreina kvanttimekaaniselle harmoniselle värähtelijälle, jolloin luomisoperaattori lisää ja hävitysoperaattori pienentää energiatasoa.^lähde?

Merkitään luomisoperaattoria symbolilla ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {a}}}$ ja hävitysoperaattoria symbolilla ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {a}}^{\dagger }}$. Bosonien luomis- ja hävitysoperaattoreille pätee^lähde?

${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1}$.

Systeemin tilaa kuvaa tilavektori ${\displaystyle \scriptstyle |n\rangle }$, joka siis on niin sanottu ket-vektori ja määrittelee hiukkasten määrän. Kun kyseessä on tyhjiö, tilavektori on muotoa ${\displaystyle \scriptstyle |0\rangle }$.

Luomis- ja hävitysoperaattorien operoidessa tilavektoria saadaan yhtälöt

${\displaystyle {\hat {a}}|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle }$

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$. ^[1]

Määritellään lukumääräoperaattori ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {N}}}$:

${\displaystyle {\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$.

Nyt toteutuvat kommutaattorit ^[2]

${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}}$

${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]={\hat {a}}^{\dagger }}$.

Lukumääräoperaattorin ominaistilat ${\displaystyle \scriptstyle |n\rangle }$ merkitään

${\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle }$.

Energian ominaistilat merkitään

${\displaystyle H|n\rangle =E_{n}|n\rangle }$,

missä siis ${\displaystyle \scriptstyle E_{n}}$ on energian ominaisarvot, eli ainoat arvot, joita energia voi systeemissä saada.