Newtonin–Pepysin ongelma
Newtonin–Pepysin ongelma on todennäköisyysongelma, joka käsittelee todennäköisyyttä heittää kuutoset vaihtelevalla määrällä noppia.[1]
Vuonna 1693 Samuel Pepys ja Isaac Newton kiistelivät Pepysin esittämästä väitteestä, josta Pepys aikoi lyödä vetoa. Ongelma oli tämä:
- Millä seuraavista kolmesta väitteestä on suurin mahdollisuus toteutua?
- A. Kuusi painottamatonta noppaa heitetään toisistaan riippumattomasti ja saadaan ainakin yksi kuutonen.
- B. Kaksitoista painottamatonta noppaa heitetään toisistaan riippumattomasti ja saadaan ainakin kaksi kuutosta.
- C. Kahdeksantoista painottamatonta noppaa heitetään toisistaan riippumattomasti ja saadaan ainakin kolme kuutosta.[2]
Pepys ajatteli intuitiivisesti, että vaihtoehdolla C olisi suurin todennäköisyys, mutta Newton päätteli oikein, että itse asiassa vaihtoehdolla A on suurin todennäköisyys toteutua.
Ratkaisu
Todennäköisyydet vaihtoehdoille A, B ja C ovat:[1]
Tulokset voidaan havaita soveltamalla binomijakaumaa. Yleisesti, jos P(N) on todennäköisyys heittää ainakin n kuutosta kuudella n nopalla, niin:
Kun n kasvaa, P(N) vähenee monotonisesti kohti asymptoottista rajaa 1/2.
Newtonin selitys
Vaikka Newton laski oikein heittojen todennäköisyydet, hän tarjosi Pepysille erillisen, intuitiivisemman selityksen. Hän kuvitteli, että vaihtoehdoissa B ja C heitetään noppia kuutosten ryhmissä, ja sanoi että A oli kaikkein todennäköisin vaihtoehdoista, koska se vaati kuutosen saamisen vain yhdellä heitolla, kun taas B ja C vaativat kuutosen saamista jokaisella heitolla. Tämä selitys olettaa, että ryhmä ei tuota enempää kuin yhden kuutosen, joten se ei itse asiassa vastaa alkuperäiseen ongelmaan.
Lähteet
- ↑ a b Newton-Pepys Problem MathWorld . Viitattu 30.8.2013. (englanniksi)
- ↑ Stigler, Stephen: Isaac Newton as a Probabilist (Arkistoitu – Internet Archive). Chicagon yliopisto. (englanniksi)
Alkuperäinen artikkeli: en:Newton-Pepys problem