Pintaintegraali

Pintaintegraalilla tarkoitetaan funktion integroimista yli pinnan. Se on määritelty vain ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:n pinnoille.^[1]

Olkoon ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ yhtenäinen ja ${\displaystyle \omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ eräs ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:n derivoituva pinta. Olkoon ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{3}}$ joukko siten, että pinnan ${\displaystyle \omega }$ kuvaaja ${\displaystyle \omega (D)\subset A}$. Olkoon nyt funktio ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} }$ sellainen, että funktio ${\displaystyle h:D\rightarrow \mathbb {R} }$,

${\displaystyle h(x,y)=f(\omega (x,y))||\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)||}$,

on integroituva yli joukon D. (huomaa, että koska ${\displaystyle \omega }$ on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:n pinta, niin sen osittaisderivaattojen kaavat ovat ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:n vektoreita ja siis ristitulo voidaan määritellä niille). Nyt funktion ${\displaystyle f}$ pintaintegraali yli pinnan ${\displaystyle \omega }$ on luku

${\displaystyle \int \limits _{\omega }f=\iint \limits _{D}f(\omega (x,y))||\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)||\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y}$.

Jos valitsemme nyt funktioksi ${\displaystyle f=1}$, niin pintaintegraali antaa pinnan ${\displaystyle \omega }$ kuvaajan pinta-alan. Saamme siis pinnan ${\displaystyle \omega }$ kuvaajan pinta-alaksi kaavan

${\displaystyle A(\omega )=\iint \limits _{D}||\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)||\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y}$.

Esimerkiksi voimme laskea kolmiulotteisen r-säteisen pallon kuoren pinta-alan tällä kaavalla. Määritellään pinta ${\displaystyle \omega :{\bar {B}}(0,r)\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$,

${\displaystyle \omega (x,y)=(x,y,{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})}$.

Huomataan, että pinnan ${\displaystyle \omega }$ kuvaaja on r-säteisen origokeskisen pallon ylempi kupu. Näin ollen koko pallon kuoren pinta-ala saadaan pinnan ${\displaystyle \omega }$ kaksinkertaisesta pinta-alasta. Lasketaan nyt pinnan osittaisderivaatat:

${\displaystyle \partial _{1}\omega (x,y)=(\partial _{1}x,\partial _{1}y,\partial _{1}{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})=(1,0,-x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})}$

${\displaystyle \partial _{2}\omega (x,y)=(\partial _{2}x,\partial _{2}y,\partial _{2}{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})=(0,1,-y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})}$

Näiden vektoreiden ristituloksi saadaan vektori:

${\displaystyle \partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)={\begin{vmatrix}(1,0,0)&(0,1,0)&(0,0,1)\\1&0&-x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}\\0&1&-y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}\end{vmatrix}}}$

${\displaystyle =(x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},1)}$

ja edelleen sen normiksi

${\displaystyle ||\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)||=||(x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},1)||}$

${\displaystyle ={\sqrt {(x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})^{2}+(y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})^{2}+1^{2}}}={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}}}$.

Näin ollen

${\displaystyle {\mbox{Pallon kuoren pinta-ala}}=2A(\omega )=2\iint \limits _{{\bar {B}}(0,r)}||\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)||\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y}$

${\displaystyle =2\iint \limits _{{\bar {B}}(0,r)}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}}\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y=4\pi r^{2}}$.

(lopun integroinneissa käytetään apuna tasa-arvokäyrien teoriaa).

Pääartikkeli: Vuo

Määrittelemme lisäksi toisenlaisen integraalin, jota kutsutaan kirjallisuudessa vuopintaintegraaliksi tai usein vain lyhyesti vuoksi. Olkoon pinta ${\displaystyle \omega }$ ja joukko ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{3}}$ kuten edellä määriteltiin. Olkoon nyt funktio ${\displaystyle F:A\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ sellainen, että funktio ${\displaystyle H:D\rightarrow \mathbb {R} }$,

${\displaystyle H(x,y)=F(\omega (x,y))\cdot (\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y))}$,

on integroituva yli joukon D. Nyt funktion ${\displaystyle F}$ vuopintaintegraali eli vuo läpi pinnan ${\displaystyle \omega }$ on luku

${\displaystyle \int \limits _{\omega }F\cdot {\mbox{d}}{\bar {A}}=\iint \limits _{D}F(\omega (x,y))\cdot (\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y))\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y}$.

Vuopintaintegraaliin liittyy tärkeä ns. divergenssilause, jonka mukaan jos ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{3}}$ on avoin niin, että sen sulkeuma on kompakti, ${\displaystyle E\subset A}$, missä ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{3}}$ on avoin ja ${\displaystyle \omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:n derivoituva pinta siten, että sen kuvaaja on joukon ${\displaystyle E}$ reuna ${\displaystyle \partial E}$, niin derivoituvan funktion ${\displaystyle F:A\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ vuo

${\displaystyle \int \limits _{\omega }F\cdot {\mbox{d}}{\bar {A}}=\iiint \limits _{D}\nabla \cdot F\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y\,{\mbox{d}}z}$.