Rieszin esityslause
![]() | Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan. |
Funktionaalianalyysissä on useita variaatioita Rieszin esityslauseesta. Alkuperäisen tuloksen funktioavaruudessa todisti unkarilainen matemaatikko Frigyes Riesz vuonna 1909 artikkelissaan Sur les opérations fonctionnelles linéaires[1] [2]
Yksinkertaisimmillaan Rieszin esityslause sanoo, että jokainen Hilbertin avaruus on oma duaalinsa: [3] Tarkemmin sanottuna ne ovat isometrisesti isomorfiset. Lause voidaan yleistää myös Banachin avaruuksille.
Hilbertin avaruudessa
Olkoon Hilbertin avaruus, sen (jatkuva) duaaliavaruus (ja skalaarikunta tai ).
Tällöin jokaista funktionaalia vastaa yksikäsitteinen , jolla pätee kaikilla . Vastaavasti kaikilla , kuvaus on jatkuva funktionaali.[3]
Lineaaristen funktionaalien esityslause Cc(X):ssä
Seuraava lause esittää positiivisia lineaarisia funktionaaleja Cc(X):ssä, kompaktissa joukossa jatkuvia komleksifunktioita. Borelin joukko viittaa σ-algebraan, jonka virittää avoimet joukot.
Epänegatiivinen additiivinen Borelin mitta μ lokaalisti kompaktissa Hausdorffin avaruudessa X on säännöllinen jos ja vain jos
- μ(K) < ∞ kaikilla kompakteilla joukoilla K;
- Kaikilla Borel-joukoilla E,
- Ehto
on voimassa kun E on avoin tai E on Borel ja μ(E) < ∞.
Lause. Olkoon X lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus. Kaikille joukossa Cc(X) määritellyille positiivisille lineaarisille funktionaaleille ψ on olemassa yksikäsitteinen Borel-säännöllinen mitta μ X:ssä, jolle
kaikilla Cc(X)-funktioilla f.
Viitteet
- ↑ Frédéric Riesz: Sur les opérations fonctionnelles linéaires. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, , nro 149, s. 974-977. Artikkelin verkkoversio (PDF). (ranskaksi)
- ↑ Mike Bertrand: Riesz's Sur les opérations fonctionnelles linéaires (Englanninkielinen käännös Rieszin alkuperäisestä tuloksesta) nonagon.org. 13.4.2015. Viitattu 24.9.2023. (englanniksi)
- ↑ a b Kari Astala, Petteri Piiroinen, Hans-Olav Tylli, Jani Lukkarinen: Funktionaalianalyysin peruskurssi (PDF) (Luentomuistiinpanot) 2018. Helsingin yliopisto. [dokumen.tips Arkistoitu] . Viitattu 24.9.2023. (suomeksi)
Aiheesta muualla
- Bachman, Narici: Functional analysis