Suppenemistestit ovat ehtoja, joiden avulla voidaan osoittaa sarjan suppeneminen tai hajaantuminen.
Suppenemistestejä
Majorantti- ja minoranttiperiaate
Olkoon
kaikilla
. Tällöin
- Jos sarja
suppenee, niin sarja
suppenee (majoranttiperiaate). - Jos sarja
hajaantuu, niin sarja
hajaantuu (minoranttiperiaate).
Vertailutesti
Oletetaan, että
ja
kaikilla
, ja että raja-arvo
on olemassa. Tällöin
- Jos
, niin sarja
suppenee, jos ja vain jos
suppenee. - Jos
ja sarja
suppenee, niin myös
suppenee. - Jos
ja sarja
hajaantuu, niin myös
hajaantuu.
Juuritesti
Olkoon
kaikilla
.
- Jos on olemassa
ja vakio
siten, että
kaikilla
, niin sarja
suppenee.
- Jos on olemassa
ja vakio
siten, että
kaikilla
, niin sarja
hajaantuu.
- Jos raja-arvo
on olemassa, niin sarja
- suppenee, jos
![{\displaystyle L<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84bf40f9d2605629e0f7ad42c4f20a3568d4b9bd)
- hajaantuu, jos
.
Olkoon
kaikilla
.
- Jos on olemassa
ja vakio
siten, että
kaikilla
, niin sarja
suppenee. - Jos on olemassa
ja vakio
siten, että
kaikilla
, niin sarja
hajaantuu. - Jos raja-arvo
on olemassa, niin sarja
- suppenee, jos
![{\displaystyle L<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84bf40f9d2605629e0f7ad42c4f20a3568d4b9bd)
- hajaantuu, jos
.
Integraalitesti
Olkoon
vähenevä funktio, joka on integroituva jokaisella välillä
. Merkitään
kaikilla
.
Tällöin sarja
suppenee, jos ja vain jos epäoleellinen integraali
suppenee.
Esimerkkejä
hajaantuu, koska
, kun
, ja
hajaantuu (vertailutesti).
suppenee, koska
kun
(juuritestin raja-arvomuoto).
Lähteet
- Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo, Lauri Myrberg, Jouni Kankaanpää: Differentiaali- ja integraalilaskenta 1.2
- Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten, osa 2, 1.-2. painos, 1978
- Courant, Richard & John, Fritz: Introduction to Calculus and Analysis I, s. 520-522. Springer-Verlag, 1965. ISBN 3-540-65058-X.