Tähtimäinen alue

Matematiikassa euklidisen avaruuden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ joukko S on tähtimäinen alue, jos on olemassa sellainen joukon S piste x_0, että jokainen S:n piste voidaan yhdistää pisteeseen x₀ janalla, joka on kokonaan S:ssä^[1]. Määritelmä voidaan yleistää mielivaltaiselle reaaliselle tai kompleksiselle vektoriavaruudelle.

• Mielivaltainen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:n suora tai taso on tähtimäinen alue.
• Suora tai taso ei ole tähtimäinen alue, jos siitä on poistettu yksittäinen piste.
• Jos A on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:n joukko, niin joukko ${\displaystyle B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}}$, joka saadaan yhdistämällä kaikki A:n pisteet origoon, on tähtimäinen alue.
• Mikä tahansa epätyhjä kupera joukko on tähtimäinen alue. Joukko on kupera jos ja vain jos se on tähtimäinen alue jokaisen joukon pisteen suhteen.
• Ristin muotoinen kuvio on tähtimäinen muttei kupera alue.
• Tähden muotoinen monikulmio on tähtimäinen alue, jonka reuna on yhtenäisten janojen ketju.

• Tähtimäisen alueen sulkeuma on tähtimäinen alue, mutta tähtimäisen alueen sisus ei välttämättä ole tähtimäinen alue.
• Jokainen tähtimäinen alue on kutistuva joukko suoraviivaisen homotopian kautta. Erityisesti jokainen tähtimäinen alue on yksinkertaisesti yhtenäinen joukko .
• Jokainen tähtimäinen alue ja ainoastaan tähtimäinen alue voidaan ”kutistaa itseensä”. Toisin sanoen jokaiselle kutistumissuhteelle r <1 tähtimäinen alue voidaan kutistaa suhteella r siten, että kutistettu tähtimäinen alue sisältyy alkuperäiseen tähtimäiseen alueeseen. ^[2]
• Kahden tähtimäisen alueen yhdiste ja leikkaus eivät välttämättä ole tähtimäisiä alueita.
• Epätyhjä ja avoin ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:n tähtimäinen alue S on diffeomorfinen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:lle.

• Taidemuseo-ongelma
• Tähtimonikulmio
• Tasapainoinen joukko

• Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis. Cambridge University Press, 1983,  ISBN 0-521-28763-4.
• C.R. Smith: A characterization of star-shaped sets, American Mathematical Monthly, 75. vsk, s. 386.

• Humphreys, Alexis. "Star convex". MathWorld.