Taylorin sarja tarkoittaa matematiikassa menetelmää, jossa approksimoidaan funktiota potenssisarjalla.[1] Taylorin sarja on yksinkertainen erikoistapaus potenssisarjasta. Funktion likiarvon laskemiseen on usein käytännöllistä käyttää Taylorin sarjaa, sillä sarjakehitelmästä saatavan approksimaation virhe on aina tarkasti tunnettu. Sarja on nimetty englantilaisen matemaatikon Brook Taylorin mukaan.[2]
Jos funktiota kuvaava Taylorin sarja suppenee jollakin välillä , funktio on analyyttinen kyseisellä välillä. Tällöin funktion arvo on sama kuin sarjan summan raja-arvo.
Sisällys
1Matemaattinen esitystapa
2Eräiden funktioiden sarjakehitelmiä
2.1Binomisarjat
3Monen muuttujan Taylorin sarja
4Taylorin polynomi
5Katso myös
6Lähteet
7Kirjallisuutta
8Aiheesta muualla
Matemaattinen esitystapa
Avoimella välillä jatkuvasti derivoituva reaali- tai kompleksiarvoinen funktio f voidaan kirjoittaa Taylorin sarjaksi
Yllä olevan sarjan kehitteli Brook Taylor. Erityisesti tilanteessa jossa puhutaan Colin Maclaurinin mukaan nimetystä Maclaurinin sarjasta. Sen yleinen muoto on siis
.
Eräiden funktioiden sarjakehitelmiä
Monille funktioille on mahdollista kirjoittaa Taylorin (usein nimenomaan Maclaurinin) sarja, joka kuvaa funktiota sitä tarkemmin, mitä enemmän termejä sarjakehitelmästä huomioidaan. Erityisesti sarjan raja-arvo, kun summaus suoritetaan nollasta äärettömään, vastaa täsmälleen annettua funktiota niillä x:n arvoilla, joilla se ylipäänsä suppenee. Eräitä tärkeitä sarjoja ovat (! tarkoittaa kertomaa)
suppenee, kun -1 < x ≤ 1.
, suppenee, kun -1 < x ≤ 1.
Binomisarjat
Muotoa olevien funktioiden Taylorin sarjoja sanotaan myös binomisarjoiksi. Sellaisia ovat esimerkiksi:
, suppenee, kun -1 ≤ x ≤ 1.
, suppenee, kun -1 < x < 1.
, suppenee, kun -1 < x < 1.
Monen muuttujan Taylorin sarja
Useamman muuttujan funktiolle Taylorin sarjaksi saadaan
Taylorin polynomi
Jos Taylorin sarjasta
otetaan vain korkeintaan n-asteiset termit, saadaan Taylorin polynomi, jonka kertaluku on n:
Tämän polynomin aste on aina korkeintaan n, mutta esimerkiksi funktion sin x Taylorin polynomi kehityspisteenä origo kertalukua seitsemän olevan Taylorin polynomin aste on kuusi.
Jos Taylorin sarjan jäännösosa
voidaan todistaa riittävän pieneksi, voi Taylorin polynomia käyttää avoimella välillä jatkuvasti derivoituvien funktioiden approksimoimiseen polynomeilla.
Katso myös
Laurentin sarja
Lähteet
↑Princeton Review ja David S. Kahn: Cracking the AP Calculus AB & BC exams, s. 286. The Princeton Review, 2004. ISBN 9780375763816. (englanniksi)
↑Encyclopædia Britannican verkkoversio (hakusana Taylor series) britannica.com. Viitattu 23.3.2015.
↑Richard Courant & Fritz John: ”5.4”, Introduction to Calculus and Analysis 1. Springer. ISBN 3-540-65058-X. (englanniksi)
Kirjallisuutta
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).
Aiheesta muualla
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Taylorin sarja.
Funktion approksimointi Taylorin polynomilla (Arkistoitu – Internet Archive)