Équation différentielle homogène

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L'expression équation différentielle homogène a deux significations totalement distinctes et indépendantes.

Une équation différentielle du premier ordre mais non nécessairement linéaire est dite homogène de degré n si elle peut s'écrire sous la forme

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=F(x,y)}$

où F est une fonction homogène de degré n, c'est-à-dire vérifiant

${\displaystyle F(tx,ty)=t^{n}F(x,y)\,}$.

Autrement dit (en posant h(u)=F(1,u)), c'est une équation qui s'écrit

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=x^{n}h\left({\frac {y}{x}}\right)}$.

Le cas le plus étudié est celui où le degré d'homogénéité est 0, à tel point que dans ce cas on ne mentionne même pas le degré. La résolution d'une telle équation se fait par séparation des variables : grâce à la substitution ${\displaystyle u(x)={\frac {y(x)}{x}}}$, l'équation homogène

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=h\left({\frac {y}{x}}\right)}$.

se transforme en une équation à variables séparées :

${\displaystyle {\frac {u'(x)}{h\left(u(x)\right)-u(x)}}={\frac {1}{x}}}$.

Une équation différentielle linéaire d'ordre quelconque est dite homogène si son second membre est nul, c'est-à-dire si elle est de la forme

${\displaystyle Ly=0\,}$

où l'opérateur différentiel L est une application linéaire et y est la fonction inconnue.

${\displaystyle ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0}$ est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants.

${\displaystyle a,b,c}$ constantes supposées connues

${\displaystyle a(x)y'(x)+b(x)y(x)=0}$ est une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients variables

${\displaystyle a(x),b(x)}$ fonctions supposées connues

• (en) Eric W. Weisstein, « Homogeneous Ordinary Differential Equation », sur MathWorld

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