Évaluation p-adique

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En théorie des nombres, la valuation p-adique ou l'ordre p-adique d'un entier n est l'exposant de la puissance la plus élevée du nombre premier p qui divise n . Il est noté ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$. De manière équivalente, ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ est l'exposant auquel ${\displaystyle p}$ apparaît dans la factorisation première de ${\displaystyle n}$.

La valuation p-adique est une valuation donnant lieu à un analogue de la valeur absolue habituelle. Alors que l'extension des nombres rationnels par rapport à la valeur absolue habituelle aboutit aux nombres réels ${\displaystyle \mathbb {R} }$, l'extension des nombres rationnels par rapport au ${\displaystyle p}$-adique la valeur absolue donne les nombres p-adique ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$^[1].

Soit p un nombre premier.

La valorisation p-adique d'un entier ${\displaystyle n}$ est défini comme étant

${\displaystyle \nu _{p}:{\begin{matrix}\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {N} \cup \{\infty \}\\n\longmapsto {\begin{cases}\max(\{k\in \mathbb {N} |p^{k}\mid n\}),&{\text{si }}n\neq 0\\\infty &{\text{si }}n=0\end{cases}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$ désignant l'ensemble des nombres naturels et ${\displaystyle m\mid n}$ désignant la divisibilité de ${\displaystyle n}$ par ${\displaystyle m}$^[2].

Par exemple, prenons ${\displaystyle 12}$, qui à la valeur absolue est égale à${\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}$, alors on a que ${\displaystyle \nu _{2}(-12)=2}$, ${\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}$, et ${\displaystyle \nu _{5}(-12)=0}$ .

Parfois la notation ${\displaystyle p^{k}\parallel n}$ est utilisé pour signifier ${\displaystyle k=\nu _{p}(n)}$^[3].

Si ${\displaystyle n}$ est un entier positif, alors

${\displaystyle \nu _{p}(n)\leq \log _{p}n}$

car par définition : ${\displaystyle n\geq p^{\nu _{p}(n)}}$.

La valuation p-adique peut être étendue aux nombres rationnels par l'application définit par^[4],[5]

${\displaystyle \nu _{p}:{\begin{matrix}\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}\\{\frac {r}{s}}\longmapsto \nu _{p}(r)-\nu _{(}s)\end{matrix}}}$.

Par exemple, ${\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}$ et ${\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}$, car ${\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}$.

Quelques propriétés sont :

${\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

De plus, si ${\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}$, alors

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

La valeur absolue p-adique (ou norme p-adique,^{[réf. nécessaire]} bien que ce ne soit pas une norme comme dans l'analyse) sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ est la fonction

${\displaystyle |\cdot |_{p}\colon {\begin{matrix}\mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}\\r\longmapsto p^{-\nu _{p}(r)}\end{matrix}}}$

Et ${\displaystyle |0|_{p}=p^{-\infty }:=0,\forall p\in \mathbb {P} }$.

Par exemple, ${\displaystyle |{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}}$ et ${\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.}$

La valeur absolue p-adique satisfait les propriétés suivantes :

Non-negativity	${\displaystyle |r|_{p}\geq 0}$
Définit positivement	${\displaystyle |r|_{p}=0\iff r=0}$
Multiplicatif	${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$
Non Archimédien	${\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$

Comme c'est multiplicatif (${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$ ) on a que ${\displaystyle |1|_{p}=1=|-1|_{p}}$ les racines de l'unité ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle -1}$ et donc on a aussi que ${\displaystyle |{-r}|_{p}=|r|_{p}.}$ La sous-additivité ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}}$ découle de l'inégalité du triangle non archimédien ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$.

Le choix de la base p dans l'exponentiation ${\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}$ n'affecte pas la plupart des propriétés, mais garde la formule du produit :

${\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1}$

où le produit est pris en compte tous les nombres premiers p et la valeur absolue habituelle, notée ${\displaystyle |r|_{0}}$. Cela découle simplement de la factorisation en nombre premier : chaque facteur ${\displaystyle p^{k}}$ s'annule avec son réciproque la valeur absolue p-adique, puis la valeur absolue archimédienne habituelle les annule toutes.

Un espace métrique peut être formé sur l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ avec une métrique ( non archimédienne, invariante par translation )

${\displaystyle d\colon {\begin{matrix}\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}\\(r,s)\longmapsto d(r,s)=|r-s|_{p}\end{matrix}}}$

L'extention a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ par rapport à cette métrique conduit à l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ de nombres p-adiques.

• nombre p -adique
• Valorisation (algèbre)
• Propriété archimédienne
• Multiplicité (mathématiques)
• Théorème d'Ostrowski
• La formule de Legendre
• Archimédien
• Distance Ultramétrique

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