∞-catégorie stable

En théorie des catégories, une branche des mathématiques, la notion d'∞-catégorie stable est une axiomatisation des propriétés essentielles de la catégorie des spectres (apparaissant en théorie de l'homotopie stable). Les ∞-catégories stables sont également les analogues en théorie des catégories supérieures des catégories abéliennes.

Une ∞-catégorie stable est une ∞-catégorie vérifiant les conditions suivantes^[1] :

• (i) Elle admet un objet nul.
• (ii) Chaque morphisme admet une fibre et une cofibre.
• (iii) Un triangle est une suite-fibre si et seulement s'il s'agit d'une suite-cofibre.

Une ∞-catégorie stable admet toutes les limites et colimites finies^[2]. De plus, la catégorie homotopique d'une ∞-catégorie stable est triangulée^[3].

Exemples : l'∞-catégorie dérivée d'une catégorie abélienne et l'∞-catégorie des spectres Sp sont toutes deux stables.

Pour toute ∞-catégorie pointée C avec toutes les limites finies, il existe une ∞-catégorie stable Sp(C) munie d'un foncteur exact à gauche (i.e. préservant les limites finies) vers C, universelle avec propriété. Cette ∞-catégorie est donc unique (au sens de la théorie des ∞-catégories) et est appelée la stabilisation de C. Elle peut être décrite plus explicitement comme l'∞-catégorie des objets en spectres de C. En particulier, l'∞-catégorie des spectres Sp est la stabilisation de l'∞-catégorie ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\mathrm {fin} }}$des types d'homotopie (ou ∞-groupoïdes) finis.

Par définition, la donnée d'une t-structure sur une ∞-catégorie stable est celle d'une t-structure sur sa catégorie homotopique. Une telle donnée permet de définir les groupes d'homotopie de tout objet.

De plus, si C est une ∞-catégorie stable munie d'une t-structure, chaque objet filtré ${\displaystyle X(i),i\in \mathbb {Z} }$, de C induit une suite spectrale ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$, qui, sous certaines conditions, converge vers ${\displaystyle \pi _{p+q}\operatorname {colim} X(i).}$^[4] Par la correspondance Dold-Kan, cela généralise la construction de la suite spectrale associée à un complexe de chaînes filtré de groupes abéliens.

• Théorie de l'homotopie stable
• Spectre (topologie)
• Catégorie triangulée
• Quasi-catégorie

• Lurie, J. Higher Algebra (PDF).

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