Pour les articles homonymes, voir Circulation et Champ vectoriel.
La circulation d'un champ vectoriel
du point
au point
le long d'une courbe
est un scalaire défini comme l'intégrale curviligne :
![{\displaystyle C=\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{\vec {v}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b20683c5266de8614f9ae40e04ebb2be0f9a61)
où :
est le vecteur position d'un point quelconque P de la trajectoire (
où O est l'origine du repère), - et
le déplacement élémentaire le long de
.
Propriétés
Circulation le long d'une courbe fermée
La circulation d'un champ vectoriel le long d'une courbe
fermée (
et
sont confondus) est égale au flux de son rotationnel à travers une surface
s'appuyant sur la courbe (le résultat ne dépend pas de la surface choisie, du moment qu'elle est délimitée par la courbe
) :
![{\displaystyle \oint _{\mathcal {C}}{\vec {v}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=\iint _{\mathcal {S}}{\overrightarrow {\operatorname {rot} }}[{\vec {v}}({\vec {r}})]\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d17295465cd8b3869f5c9f49b9cacac2da8ebe8)
Circulation d'un gradient
Quand le champ
est irrotationnel (
), il peut être écrit comme le gradient d'un champ scalaire
:
. Alors sa circulation de
à
est égale à la variation du champ scalaire de
à
:
![{\displaystyle \int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{\overrightarrow {\operatorname {grad} }}[p({\vec {r}})]\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=p(\mathrm {B} )-p(\mathrm {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/683488ac6de79017983d24386989337c281e36d4)
Dans ce cas la circulation dépend donc seulement des points
et
, elle ne dépend pas de la courbe
choisie pour les relier.
Exemples en physique
Travail d'une force
Le travail
d'une force
appliquée à un point matériel
quand il se déplace d'un point
à un point
est égal à la circulation de
le long de la trajectoire
menant
de
à
:
![{\displaystyle W_{\overset {\frown }{AB}}=\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f680b8dfd9ed3ebadab2ea9a3a20f6b1e3c412d)
Remarques :
- une force appliquée à un point matériel n'est pas nécessairement un champ vectoriel (elle n'est pas nécessairement définie en tout point de l'espace), mais la définition du travail reste valable du moment que la force est définie en tout point de la trajectoire ;
- la définition du travail s'applique aussi à une force appliquée à un solide en un point précis
de ce dernier ; - dans certains cas il est important d'écrire
où
est la vitesse du point
et
le temps, notamment quand
est un point de contact du solide avec un autre solide. Par exemple, le travail d'une force de frottement est nul dans le cas d'un roulement sans glissement (
) ;
- la définition du travail s'applique aussi à une force appliquée uniformément aux points matériels d'un solide (force par unité de masse constante). Dans ce cas la trajectoire
est celle du centre de gravité du solide ; c'est notamment le cas du travail du poids du solide.
Circulation du champ électrique
Le champ électrique
étant irrotationnel (
), on peut l'écrire comme le gradient d'un champ scalaire
:
. Par convention (d'origine historique), on définit le potentiel électrique comme
, donc
. Le théorème du gradient s'écrit alors :
![{\displaystyle \int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{\vec {E}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=V(\mathrm {A} )-V(\mathrm {B} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60a345804044bdc1909cf43078d2a7176e50064b)
Ce résultat est dénommé « différence de potentiel » ou « tension » entre
et
.
Circulation du potentiel vecteur le long d'une courbe fermée
Le champ magnétique
étant de divergence nulle (
), on peut l'écrire comme le rotationnel d'un champ vectoriel
, appelé potentiel vecteur :
. Le théorème de Stokes s'écrit alors :
![{\displaystyle \oint _{\mathcal {C}}{\vec {A}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=\iint _{\mathcal {S}}{\vec {B}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fbec6d3b2683c0ac501550b080ba57f18bd858f)
Ce résultat est appelé « flux magnétique » à travers la surface
.
Théorème de Kelvin
Le théorème de Kelvin établit que, dans un fluide barotrope (un fluide dans lequel les surfaces d'égale pression se confondent avec celles d'égale densité), la circulation du vecteur vitesse
le long d'un contour
fermé est nulle :
![{\displaystyle \oint _{\mathcal {C}}{\vec {v}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23109050ee33296fcea1db8c1cb547ff6013e924)
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